2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=A .15B .15-C .513D .513-2.设a 是实数,且1i1i 2a +++是实数,则a = A .12 B .1 C .32 D .23.已知向量(5,6)a =-,(6,5)b =,则a 与bA .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向4.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0)-,(4,0),则双曲线方程为A .221412x y -= B .221124x y -= C .221106x y -= D .221610x y -= 5.设,a b R ∈,集合{}1,,{0,,}ba b a b a+=,则b a -=A .1B .1-C .2D .2- 6.下面给出的四个点中,到直线10x y -+=的距离为2,且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是A .(1,1)B .(1,1)-C .(1,1)--D .(1,1)- 7.如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面 直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A .15B .25C DA 1B 1C 1D 1C .35D .458.设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =A B .2 C . D .49.()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件10.21()n x x -的展开式中,常数项为15,则n =A .3B .4C .5D .611.抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF ∆的面积是A .4B ...812.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是 A .2(,)33ππ B .()62ππ, C .(0)3π, D .()66ππ-,二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答) 14.函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称,则()f x = .15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1S ,22S ,33S 成等差数列,则{}n a 的公比为 .16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 18.(本小题满分12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ;(Ⅱ)求η的分布列及期望E η. 19.(本小题满分12分)四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠,2AB =,BC =SA SB ==(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.20.(本小题满分12分) 设函数()e e x x f x -=-.(Ⅰ)证明:()f x 的导数()2f x '≥;(Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. 21.(本小题满分12分)DBCA S已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ,2F .过1F 的直线交椭圆于B D ,两点,过2F 的直线交椭圆于A C ,两点,且AC BD ⊥,垂足为P .(Ⅰ)设P 点的坐标为00()x y ,,证明:2200132x y +<; (Ⅱ)求四边形ABCD 的面积的最小值. 22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 中12a =,11)(2)n n a a +=+,1,2,3,n =.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 中12b =,13423n n n b b b ++=+,1,2,3,n =,43n n b a -<≤,1,2,3,n =.2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案一、选择题: (1)D (2)B (3)A (4)A (5)C (6)C(7)D(8)D(9)B(10)D(11)C(12)A二、填空题:(13)36 (14)3()x x ∈R(15)13(16)三、解答题: (17)解:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC △为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ->-,2263B ππππ-=-=. 2336A πππ<+<,所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭.3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以,cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭,. (18)解:(Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=,()1()10.2160.784P A P A =-=-=.(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.(200)(1)0.4P P ηξ====,(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=.η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=(元). (19)解法一:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥底面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =,又45ABC =∠,故AOB △为等腰直角三角形,AO BO ⊥, 由三垂线定理,得SA BC ⊥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA BC ⊥,依题设AD BC∥,故SA AD ⊥,由AD BC ==SA =AO =1SO =,SD =. SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ,得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ,由于D SAB S ABD V V --=,得121133h S SO S=, 解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α,则sin 11h SD α===. 所以,直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11. 解法二:(Ⅰ)作SO BC ⊥,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC ⊥底面ABCD ,得SO ⊥平面ABCD .因为SA SB =,所以AO BO =.又45ABC =∠,AOB △为等腰直角三角形,AO OB ⊥.如图,以O 为坐标原点,OA 为x0)A ,,(0B ,(0C ,,(001)S ,,(2,(0CB =,0SA CB =,所以SA BC ⊥.(Ⅱ)取AB 中点E ,0E ⎫⎪⎪⎝⎭,连结SE ,取SE 中点G ,连结OG ,1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,. 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,,122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,,(AB =. 0SE OG =,0AB OG =,OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ,AB 垂直.所以OG ⊥平面SAB ,OG 与DS 的夹角记为α,SD 与平面SAB 所成的角记为β,则α与β互余.D ,(DS =.22cos OG DS OG DSα==sin β=,所以,直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11. (20)解:(Ⅰ)()f x 的导数()e e x x f x -'=+. 由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立). (Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-,(ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20x xg x a a -'=+->-≥故()g x 在(0)+,∞上为增函数,所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1x =,此时,若1(0)x x ∈,,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以,1(0)x x ∈,时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞,. (21)证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距1c ==,由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上,故2201x y +=, 所以,222200021132222y x y x ++=<≤. (Ⅱ)(ⅰ)当BD 的斜率k 存在且0k ≠时,BD 的方程为(1)y k x =+,代入椭圆方程22132x y +=,并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=. 设11()B x y ,,22()D x y ,,则2122632k x x k +=-+,21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x kx x x x ⎡=-=++-=⎣;因为AC 与BC 相交于点P ,且AC 的斜率为1k-,所以,2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+. 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥. 当21k =时,上式取等号.(ⅱ)当BD 的斜率0k =或斜率不存在时,四边形ABCD 的面积4S =.综上,四边形ABCD 的面积的最小值为9625.(22)解: (Ⅰ)由题设:11)(2)n n aa +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=.所以,数列{n a 是首项为21的等比数列,1)n n a =,即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦,123n =,,,…. (Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当1n =2<,112b a ==,所以11b a <≤,结论成立.(ⅱ)假设当n k =43k k b a -<≤,也即430k k b a -<. 当1n k =+时,13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+,又1323k b <=-+, 所以1(322)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说,当1n k =+时,结论成立.43n n b a -<≤,123n =,,,….。