第45 章阅读理解型1. (2011 江苏南京，28，11 分)问题情境已知矩形的面积为a（a 为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y 与x 的函数关系式为y = 2(x +a)(x＞0) ．x 探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y =x +1(x＞0) 的图象性质．x① 填写下表，画出函数的图象：②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还1 可以通过配方得到．请你通过配方求函数y =x + 解决问题(x＞0)的最小值．x⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．1xx x 1 xa a ⎩， ，， ， 【答案】解：⑴① 17 ， 10 5 2 5 10 ， 17 ．1 4 32 23 4函 数 y = x +(x > 0) 的图象如图．x②本题答案不唯一，下列解法供参考．当0 < x < 1时， y 随 x 增大而减小；当 x > 1 时, y 随 x 增大而增大；当 x = 1 时函数y = x + 1(x > 0) 的最小值为 2．x③ y = x + 1x= ( x )2 + (= ( x )2 + (1 )2 x1 )2 -2xx ⋅+ 2 x ⋅= ( -1 )2 + 2x当 - =0，即 x = 1 时，函数 y = x + 1 x(x > 0) 的最小值为 2．⑵当该矩形的长为 时，它的周长最小，最小值为4 ．2. （2011 江苏南通，27，12 分）（本小题满分 12 分）已知 A (1，0)， B (0,－1)，C (－1，2)，D (2，－1)，E (4，2)五个点，抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），经过其中三个点.（1） 求证：C ，E 两点不可能同时在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上； （2） 点 A 在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上吗？为什么？ （3） 求 a 和 k 的 值.【答案】（1）证明：将 C ，E 两点的坐标代入 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）得，⎧4a + k = 2⎨9a + k = 2 ，解得 a ＝0，这与条件 a ＞0 不符， ∴C ，E 两点不可能同时在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上.1 x⎨（2）【法一】∵A 、C 、D 三点共线（如下图），∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ；⑥B 、D 、E .将①、②、③、④四种情况（都含 A 点）的三点坐标分别代入 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解.所以 A 点不可能在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上.【法二】∵抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）的顶点为（1，k ）假设抛物线过 A (1，0)，则点 A 必为抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点 A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过 x 轴上方的另外两点 C 、E ，这与（1）矛盾，所以 A 点不可能在抛物线 y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0） 上.（3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B 、C 、D 三点时，则⎧⎨a + k = -1 ，解得⎨⎧a = 1 4a + k = 2 k = -2 ⎩ ⎩⎧a = 3Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求： 811 ⎪k = - ⎩ 8 .a = 3 ∴ ⎧⎨a = 1 k = -2 或⎨ 8 11 ⎩ ⎪k = -⎩8 .3. （2011 四川凉山州，28，12 分）如图，抛物线与 x 轴交于 A （ x 1 ，0）、 B （ x 2 ，0） 两点，且 x < x ，与 y 轴交于点C (0, -4)，其中 x ，x 是方程 x 2 - 4x -12 = 0 的两个根。

1212（1） 求抛物线的解析式；（2） 点 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，连接CM ，当△CMN 的面积最大时，求点 M 的坐标；⎧（3） 点 D(4, k )在（1）中抛物线上，点 E 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使以 A 、、、E F 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）∵ x 2 - 4x -12 = 0 ，∴ x = -2 ， x = 6 。

12∴ A (-2, 0) ， B (6, 0) 。

又∵抛物线过点 A 、 B 、C ，故设抛物线的解析式为 y = a (x + 2)(x - 6) ，将点1C 的坐标代入，求得 a = 。

3∴抛物线的解析式为 y = 1 x 2 - 4x - 4 。

33（2）设点 M 的坐标为（ m ，0），过点 N 作 NH ⊥ x 轴于点 H （如图（1））。

∵点 A 的坐标为（ -2 ，0），点 B 的坐标为（6，0）， ∴ AB = 8 ， AM = m + 2 。

∵ MN B C ，∴△∥N △ABC 。

∴ NH = AM ，∴NH = m + 2，∴ NH = m + 2 。

CO AB 4 8 2∴ S △△M △N = S ACM- S = 1 AM C O - 1 AM NH AMN 2 2= 1 (m + 2)(4 - m + 2) = - 1 m 2 + m + 3 2 2 4 = - 1(m - 2)2 + 4 。

4∴当 m = 2 时， S △CMN 有最大值 4。

此时，点 M 的坐标为（2，0）。

7 A N B xC 图M H O yABxE D图F 2OF 1yAOBxE D图F 4F 3E 'E 'y（3）∵点 D （4， k ）在抛物线 y = 1 x 2 - 4x - 4 上，3 3∴当 x = 4 时， k = -4 ，∴点 D 的坐标是（4， -4 ）。

① 如图（2），当 AF 为平行四边形的边时， AFDE ，∵ D （4， -4 ），∴错误！链接无效。

DE = 4 。

∴ F 1(-6, 0) ， F 2 (2, 0) 。

② 如图（3），当 AF 为平行四边形的对角线时，设 F (n , 0) ， n - 2 则平行四边形的对称中心为（，0）。

2∴ E ' 的坐标为（ n - 6 ，4）。

把 E ' （ n - 6 ，4）代入 y = 1 x 2 - 4x - 4 ，得 n 2 -16n + 36 = 0 。

33解得 n = 8 ± 2 。

F 3 (8 - 2 7, 0) ， F 4 (8 + 2 7, 0) 。

4. （2011 江苏苏州，28,9 分）（本题满分9 分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA 边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O1处，点B 运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A 运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O 经过上述两次旋转到达O2处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1 围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1 的正方形纸片OABC 放在直线l2上，OA 边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O1处（即点B 处），点C 运动到了点C1处，点B 运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3 次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5 次旋转，求顶点O 经过的路程；问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是41 + 20 2π？2请你解答上述两个问题.【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC 经过3 次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴顶点O 运动过程中经过的路程为90⋅⋅1⨯2+90⋅⋅ 2 = (1 + 2 ).180 180 2当我被上帝造出来时，上帝问我想在人间当一个怎样的人，我不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。

于是，我降临在了人间。

我出生在一个官僚知识分子之家，父亲在朝中做官，精读诗书，母亲知书答礼，温柔体贴，父母给我去了一个好听的名字：李清照。

顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l 2 围成图形的面积为90 ⋅⋅12⨯ 2 + 90 ⋅⋅ ( 2)2 360 360 + 2 ⨯ 1 ⨯1⨯1 =1+π.2正方形 OABC 经过 5 次旋转，顶点 O 经过的路程为90⋅⋅1⨯3 + 90⋅⋅ 2 = ( 3 + 2 ).180 180 2 2 问题②：∵方形 OABC 经过 4 次旋转，顶点 O 经过的路程为90⋅⋅1⨯ 2 + 90⋅⋅ 2 = (1 + 2 )180 180 241 + 20 2 ∴2π=20× (1+2 ) π+ 1 π. 22∴正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转.小时侯，受父母影响的我饱读诗书，聪明伶俐，在朝中享有“神童”的称号。

小时候的我天真活泼，才思敏捷，小河畔，花丛边撒满了我的诗我的笑，无可置疑，小时侯的我快乐无虑。

“兴尽晚回舟，误入藕花深处。

争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。

”青春的我如同一只小鸟，自由自在，没有约束，少女纯净的心灵常在朝阳小，流水也被自然洗礼，纤细的手指拈一束花，轻抛入水，随波荡漾，发髻上沾着晶莹的露水，双脚任水流轻抚。

身影轻飘而过，留下一阵清风。

可是晚年的我却生活在一片黑暗之中，家庭的衰败，社会的改变，消磨着我那柔弱的心。