数学模型初步——模型一
反应距离？ 司机从意识到要停车的时刻到真正刹车时刻期
间车辆走过的距离 刹车距离？ 刹车后使车辆完全停下来所滑行的距离。 反应距离相关的子模型： 反应距离=f（反应时间，速率） 相关影响因素：个体驾驶因素，系统时间（几 乎可以忽略，原因是现代车辆比较安全）（子 模型一）
数学模型初步——模型一
识别问题：
该法则是否很好？太模糊！最好提出一个新
的问题，该问题的解决和回答有助于我们进 行更为精确地数学分析，并同时实现目标。 问题陈述： 预测作为车辆速率的函数的车辆的总的停止 距离。 问题假设： 围绕一个很明显的原理进行假设： 总的停止距离=反应距离+刹车距离
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
考察四脚呈长方形的椅子
数学建模的一般步骤
数学建模初步
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数学模型初步——总论
一、模型？ 模型是实物、过程的表示，可能是对实体的模仿、 模拟，也可能是某些基本属性的抽象。

二、数学模型？ 对所研究的对象进行模拟，是用数学思维方法将 要解决的问题进行简化、抽象处理，用数学符号、 公式、图表等刻画实物本质属性及内在规律。 是联系实际问题与数学的一座桥梁。
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
实践
理论
实践
数学模型初步——线性规划
例1-1.某木匠制作桌子和书架出售，他希望确
定每种家具每周制作多少，即希望制定制作桌 子和书架的周生产计划，使获得利润最大。制 作桌子和书架的单位成本分别是5美元和7美 元。每周收益可以分别用下面的表达式估计： 2 5 0 x 0 .2 x 其中 x 1 是每周生产桌子数量； 1 1

数学模型初步——总论
三、适用的范围？
社会、经济、环境、生态、医学等等领域。
要建立一个好的数学模型，不尽需要数学的
知识，还必须了解其他领域内与之相关的内 容。
数学模型初步——模型一
车辆的停止距离
正常的驾驶条件对车与车的跟随距离的要求
是每十英里的速率可以允许一辆车的跟随距 离，但是在不利的天气或道路条件下要有更 长的跟随距离。 如何处理不利的情况？ 两秒钟法则—— 不管车速多少，看着你前面的车子刚驶过你 能确定的固定点，然后默数“一千零一，一 千零二”，如果你刚数完就到了那个固定点， 就表示你与前车靠的太近。
C
C
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
数学模型初步—模型二
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
• 椅子位置
数学模型初步—模型二
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
数学模型初步——模型一
个体驾驶因素的反应时间又由反射的本能、
警觉程度、能见度等多重因素决定。但由于 我们是研究一个一般的规律，所以只在研究 中取以上几因素的平均值 反应距离的影响因素考察完毕，一下是对影 响刹车距离的因素考察。 最最最最重要的是：车身总量，行驶速度。 相关合理因素：刹车的效率，车胎类型和状 态，道路表面的情况，天气条件等。为了研 究方便，仍然取这些因素的平均值。
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
数学模型初步—模型二
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
数学模型初步——模型一
刹车距离=h（重量，速率）（子模型二） 总结建模过程： 1.识别问题； 对现象做一般性观察
2.做出假设；
关于现象的假设、研制检验假设方法、用数据
检验假设 3.求解模型； 4.验证模型；
数学模型初步—模型二
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设