3 2

-
2 -1
x
⑴ y=sinx在该区间上是一一对应的 . y sin x x ,
⑵能取得y=sinx的一切函数值[-1,1].

2 2
二、反正弦函数
1、反正弦函数的定义：
函数y sin x，x [ ， ]的反函数叫做反正弦函数, 2 2

记作y arcsin x，x [11], ， 其值域为[ ， ]． 2 2

(1)“arcsin”是反正弦函数的函数名，是一个整体符号． (2)当x 1， 1时， arcsin x表示一个角，这个角是 , 2 2 内正弦值为x的那个弧度制角． 2 2 例如： arcsin 表示－ ， 内正弦值为 的角． 3 3 2 2
●
满足sin(arcsinx)=x
(一)2、研究反正弦函数
反正弦函数三要素 1.定义域: 1,1 2.值域： ,
2 2
3.反正弦函数的对应法则与原来函数y sin x, x , 2 2
对应法则互逆
(一)2(1) 画出反正弦函数的图像
第六章
6.4
三角函数
反三角函数
引入课题: （一）1、追溯历史
提出问题
引入课题:
测量实际计算中的两类相反问题：
一类是已知角值求比值
例如:在正弦函数 y =sinx中 1 x
x 6 , y sin 6 ; 6 2
x 2, y sin 2
x 2 k
一类是已知比值求角值
5 1 5 再由 sin sin - sin x
x

6
6
6
2
6
2k 或x
5 2k k Z 6
结合旧知 讨论概念产生的可能性
在用正弦值表示相应角值时，只要表示出其中一个相应的角值， 就可以了!因为根据三角比的周期性及诱导公式可以将剩余的其 他角值都表示出。 所以正弦函数不存在反函数并不要紧。只要选取某一区间使得
3 (3) sin x x [， 0]． 3 3 (3)当x [ ， 0]时，x arcsin 2 3 3 当x [， ]时，x arcsin 2 3 3 3 x arcsin 或x arcsin 3 3
说明：用反正弦函数值表示角x时，若角x不在反正 弦函数的定义域内，则应先将角化到定义域内再 用反正弦函数值表示角x．
重要等式1： sin(arcsin x) x，x [1， 1]
（一）1（4）多项训练 强化理解概念的本质
考虑下列各式的意义： 例：
1 arcsin 2
1 arcsin 3
arcsin

2
对于符号arcsinx而言
●
当|x|≤1时有意义
2 , 2
●
表示在
上的角值
易知单调函数必存在反函数.
思考： 为什么? 正弦函数y=sinx是否存在反函数？ y
2

1 2 O
6

2
3
4
y sin x
x
[说明] 因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应， 正弦函数的自变量与因变量是多对一的． 因此定义在R上的正弦函数y=sinx不存在反函数．
结合旧知 讨论概念产生的可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性
(2) x ， 且 sin x 4 2 2 1 1 x arcsin arcsin 4 4
3 找到定义 (1) sin x x [ ， ]； 域内的角 5 2 解： (1) x ， x [0， ] 2 2 3 3 x arcsin sin( x) sin x 5 3 5 x arcsin 找到定义 5 3 1 (2) sin x x (， )． 域内的角 4 3 2 (2) x (， ) x ( ， 0) 2 1 2 1 sin( x) sin x x arcsin( ) 4 4 1 x arcsin 4
y 2 1
∈
y=x
∈
-
2
-1
o
1
2
x
-1 2
(一)2(2)形数结合，解读反正弦函数的性质

2
y
y arcsin x，x [1， 1]
定义域 值域 单调性 奇偶性 分段
－1， 1
2 ， 2
1
o 1
－
x

2
在[1， 1]上单调递增
奇函数
x 0， 1时，y 0， 2
需要考 虑正弦 函数 y=sinx 的反函 数？
复习反函数的概念： 一般地，对于函数y=f(x)．设它的定义域为Ｄ， 值域为Ａ．如果对Ａ中的任意一个值y，在Ｄ中总 有唯一确定的x值与它对应，满足y=f(x)，这样得 到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数． 提问:怎样的函数存在反函数？ 答:自变量与因变量是一一对应的函数存在反函数.
例2、求下列反正弦函数的函数值． 2 2 1 1 (1) sin(arcsin ) (2) sin[arcsin ( )] 3 3 3 3 1 1 1 3 (3) sin[arcsin ( )] ( 4) cos[arcsin ( )] 2 2 2 2 1 (4)解： arcsin( ) 2 6 1 3 cos[arcsin ( )] cos( ) 2 6 2 1 3 (5) cos(arcsin ) cos 3 2 2
y sin x 在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦 值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值 表示出目的就达到了。
（一）1（2）具体分析
师生共同探讨概念产生
y 1
应该选取怎样的区间， 使得y=sinx存在反函数？
y= sinx
o 2 3 2 2
-2
-
课堂小结
1、反正弦函数的定义、图像和性质．
2、反正弦函数值arcsinx的含义． (1) arcsin x是一个弧度制角；
(2)这个角的正弦等于x，即sin(arcsin x) x； (3)这个角的范围是[ ， ]． 2 2
3、两个重要等式：
sin(arcsin x) x，x [1， 1] arcsin( x) arcsin x，x [1， 1]
例3、用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x． 3 (1) sin x x [ ， ]； 5 2 2 3 3 解： (1) x ， 且 sin x x arcsin 5 2 2 5 1 (2) sin x x [ ， ]． 4 2 2 1
(3) arcsin1 2k
对
错
1 3

2
(k Z )
错
(4) arcsin( ) arcsin 3 3


错
错 对


3
1
(5)sin(arcsin 2) 2
(6) sin(arcsin
2 1
2
10
)
2
10
例、求下列反正弦函数的值． 3 (1) arcsin 2 3 3 解： sin ，且 [ ， ] arcsin 2 3 3 2 3 2 2 2 (2) arcsin0 0 (3) arcsin( ) 4 2 1 (4) arcsin (5) arcsin1 2 6 2 (6) arcsin(1) (7) arcsin 不存在 2 3
x 0时， arcsin x是一个锐角；
x 1 ， 0 时，y ， 0 2
x 0时， arcsin x是一个负角．
重要等式2： arcsin( x) arcsin x，x [1， 1]
例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
3 (1) arcsin 2 3 3 (2) arcsin 3 2
1 倘若 sin x ，又怎样用正弦值表示相应的角值呢？ 3
1 例如 sin x , 2
x?

6
或x 2k
5 ( k Z) 6
1 sin x , x ? 3
怎样用正 弦值表示 相应的角 值？
正弦函数 y sin x （角值 确定 正弦值）
为什么要学习反正弦函数？ ⑴要用正弦值表示相应的角值. ⑵上升到函数,研究正弦值变化时相应角值 如何变化.
·研究正弦函数的反函数目的是什么？ 要用正弦值表示相应的角值 ·正弦函数为什么不存在反函数？ 正弦函数是周期函数
正弦函数不存在反函数， 怎么办？
能否在正弦函数的一个周期里用正弦值表示相 1 应角值呢？ 例如： sin x , x ? 2
首先，在 0, 2 ,
6
sin

6

1 x , 2 6