函数列与函数项级数
§1. 函数项级数的一致收敛性
1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：
⑴ ()n f x =
,(,);x ∈-∞+∞
⑵ ()sin
,n x f x n
=
i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx =+ (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx
=
+
i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞
⑸ 2
233
(),1n n x
f x n x
=
+
i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x
=
++ [0,1];x ∈
⑺ (),1n n n
x
f x x
=
+
i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞>
⑻ 2(),n n
n f x x x =- [0,1];x ∈
⑼ 1
(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈
⑽ ()ln
,n x x f x n n
= (0,1);x ∈
⑾ 1()ln(1),nx
n f x e n
-=
+ (,);x ∈-∞+∞
⑿ 2
()(),x n n f x e --=
i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令
[()]
()n nf x f x n
=
(1,2,)n =⋅⋅⋅.
求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时，
(),nx
n f x n xe
α
-= 1,2,3,n =⋅⋅⋅
在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10
lim ()n n f x dx ->∞
⎰
可在积分号下取极
限？
4. 证明序列2
()nx n f x nxe -=(1,2,)n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]上收敛，但
1
100
lim ()lim
().n n n n f x dx f x dx ->∞
->∞
≠⎰
⎰
5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又
[,]n x a b ∈(1,2,)n =⋅⋅⋅，满足0lim n n x x ->∞
=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞
=
6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：
⑴ 0
(1), [0,1];n n x x x ∞
=-∈∑
⑵ 12
2
1
(1)
, (,)(1)
n n
n x
x x -∞
=-∈-∞+∞+∑
.
7. 设()n f x (1,2,)n =⋅⋅⋅在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证：
()n f x 在[,]a b 上一致有界.
8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且
1()[()()],n f x n f x f x n
=+
-
求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列
1()()x n n a
f x f t dt +=
⎰
(1,2,)n =⋅⋅⋅
求证：{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于零.
10. 设{()}n f x 在(,)a b 内一致收敛于()f x ，0(,)x a b ∈且
lim (),n n x x f x a ->= (1,2,)n =⋅⋅⋅.
证明：lim n n a ->∞
和0
lim ()x x f x ->存在且相等，即
0lim lim ()lim lim ()n n n x x x x n f x f x ->∞->->->∞
=.
11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：
⑴
1 (,);n x ∞
=∈-∞+∞∑
⑵ 42
1
, (,);1n x
x n x
∞
=∈-∞+∞+∑
⑶ 22
1(1)(1)
, [0,);n
nx
n e
x n x
-∞
=--∈ +∞+∑
⑷ 1sin , (2,);2n
n nx x x ∞
=∈-+∞+∑
⑸ 5
21, (,);1n nx
x n x
∞
=∈-∞+∞+∑
⑹
2
11),
||2;2
n n
n x x
x ∞
-=+≤ ≤∑
⑺ 21
, [0,);nx n x e x ∞
-=∈+∞∑
⑻ 1ln , [0,1];!
n n
n x x x n ∞
=∈∑
⑼
2
, (,);n x ∞
=∈-∞+∞∑ ⑽ 1
, ||1;n
n n x r x
∞
=≥>∑
⑾ 1
ln(1), [,), 1.n
n nx x a a nx
∞
=+∈+∞> ∑
12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：
⑴
1
2cos
(,);n n x π∞
=∈-∞+∞∑
⑵
1
[0,2];n x π∞
=∈∑
⑶ 1(1)
, (1,);n
n x x n ∞
=-∈-+∞+∑
⑷ 1(1)
, (,);sin n
n x n x
∞
=-∈-∞+∞+∑
⑸ 1
1
2sin
, (0,);3n n
n x x
∞
=∈+∞∑
⑹
(1)
21 ||;n n n x a -∞
=≤∑
⑺
1 [1,0];n
n x ∞
=∈-∑
⑻ 21
1
(1)
, [1,1].21
n n
n x
x n +∞
=-∈-+∑
13. 设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果()n x ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收
敛，那么这级数在[,]a b 上一致收敛.
14. 证明级数1
2
1
1(1)n n n x
∞
-=-+∑关于x 在(,)-∞+∞上为一致收敛，但对任何x 并非绝
对收敛；而级数22
1
(1)
n
n x
x ∞
=+∑
虽在(,)x ∈-∞+∞上绝对收敛，但并不一致收敛.
15. 若1
()n n u x ∞
=∑的一般项|()|(), ,n n u x c x x X ≤∈并且1
()n n c x ∞
=∑在X 上一致收敛，证明
1
()n
n u
x ∞
=∑在X 上也一致收敛且绝对收敛.
()
000
()
()().!
n n
n f
x f x x x n ∞
==
-∑。