掺气水流声速的研究张宏伟，刘之平，张东，吴一红（中国水利水电科学研究院，北京100038）摘要：采用一维双流体模型，利用小扰动原理研究了压力波在水气两相泡状流中的传播规律。

针对水利工程中高速掺气水流的特点，对方程进行合理模化和封闭。

详细分析了掺气浓度、压力、扰动频率、相间相互作用力对掺气水流中声波传播速度和衰减的影响。

结果表明，适当的掺气浓度会使掺气水流的声速显著降低；压强的减小和相间传热的增强可使声速减小、衰减加快；虚拟质量力主要影响高频声速，并使声波衰减减慢。

关键词：掺气水流；双流体模型；声速；衰减中图分类号：TV131.3+4文献标识码：A1研究背景在高水头泄水工程中，高速水流掺气是一种普遍而又重要的流动现象。

高速掺气水流的可压缩性问题一直受学术界关注，如Cain 等［1］发现高速掺气水流（流速大于30m/s ）存在可压缩性的影响。

李炜［2］将掺气水流与空气动力学领域的超音速流进行类比，认为高速掺气水流存在与不可压缩流完全不同的现象和特点，因此应考虑其可压缩性的影响。

赵建福等［3］进一步提出了高速掺气水流的压缩性准则并对可压缩掺气水流进行了一维特征分析。

倪汉根［4］认为掺气减蚀的机理是由于掺气导致水流声速降低，空泡溃灭时传至壁面的冲击压力大大减小。

然而高速掺气水流的可压缩性问题并没有得到学术界的广泛认同，文献［5］认为当掺气水流的马赫数大于1时，水流具有“似可压缩性”，而没有明确称为“可压缩性”，这种说法本身就是对掺气水流可压缩性存疑的体现。

究其原因，是由于掺气水流可压缩性问题的复杂性，研究远未深入，至今没有成熟的研究成果，掺气水流的基本问题—声速问题，目前的研究也很不全面。

要认识掺气水流的可压缩性问题，揭示其流动现象和特点，必须首先对掺气水流的声速问题进行深入研究。

在可压缩单相流中，声速可表示为c=化过程有关，或者说取决于受扰动气体与周围介质偏离热平衡的程度，两种极端情况是等温和绝热，分别对应等温声速和绝热声速。

对于气液二相流，情况要复杂很多。

声波在两相介质中的传播速度，不仅与气液两相的声速有关，更依赖于两相间动量和能量的交换。

而相间动量和能量交换不仅与两相流流型密切相关，还受扰动频率的影响。

早在1910年，Mallock ［6］就发现气液两相介质的声速大大低于单相气体或液体。

后来由于科技发展和工程应用需要，许多学者对气液两相流声速进行了研究。

Landau 等［7］研究了水和蒸汽系统的平衡绝热声速。

Wallis ［8］从临界流条件出发，研究了气液两相流中包含相变影响的平衡等焓声速，还给出了无相变的均质流和分层流声速公式。

Nguyen 等［9］通过假定一相的相界面为另一相的弹性壁，对均质流、分层流和团状流的声速进行了研究，并给出了各流型的声速公式。

刘大有［10］研究了两相速——1015DOI:10.13243/ki.slxb.2013.09.004度平衡条件下无相变绝热声速及平衡声速，以及有相变的完全平衡声速，并对不同声速公式之间的差异进行了详细的分析。

仔细考察这些文献，其共同的特点是两相流声速公式的推导中假设两相间动量平衡，既没有考虑两相间的速度滑移，也没有考虑相间加速度滑移，因而在处理方法上大为简化。

气液两相流通常伴随相间动量交换。

Chuang 等［11］采用均质流模型研究了水气两相泡状流的声速，详细分析了气泡动力特性和内部传热过程，考虑了虚拟质量力对声速的影响，但没有考虑相间滑移。

赵建福［12］基于双流体模型对掺气水流进行了一维特征分析，指出高速掺气水流的声速可由Wood 绝热公式［13］表示，但此结果同样是在无相间滑移的条件下得到的，无法反应声波的衰减特性和声速公式对扰动频率的适用范围。

基于双流体模型的小扰动分析方法，可建立两相流中声速的色散方程，能全面反映两相动量、能量非平衡条件下声波的传播速度及衰减规律，已为许多作者所采用。

如Cheng 等［14］采用该方法分析了二元二相泡状流中波的传播规律，指出在泡状流区虚拟质量力对波的色散有显著影响，而热力过程对扰动作用下气泡共振现象有重要意义，波散射则是高频段波衰减的主要根源。

Ruggles 等［15］采用该方法对水气二相泡状流中压力扰动的传播规律进行了研究，并就驻波色散、衰减及压力波传播速度与试验资料进行了对比，发现虚拟质量力系数是含气率的函数。

Lee 等［16］、Xu 等［17］和黄飞等［18］同样采用该方法研究了气液两相流声速，其中文献［17］重点关注核反应堆冷却循环管路中的阻流问题和流动稳定性问题，研究对象为高温高压一元水汽两相流系统，在双流体模型中考虑了水汽两相间由于相变引起的质量、动量及能量交换，文献［18］研究对象为一维水平管中的气液泡状流，分析考虑了管壁的阻力和气泡压力的变化对管内声波传播的影响，但没有考虑相变。

本文利用双流体连续介质模型建立两相流基本方程，针对掺气水流（主要考虑泡状流）的特点对方程进行合理简化并引入适当的封闭关系。

采用小扰动原理研究掺气水流中声速的传播和衰减规律，系统分析掺气浓度、压力、相间力以及扰动频率等因素对声速的影响。

研究有助于提高对高速掺气水流可压缩性问题的认识。

2数理模型2.1两流体模型基本方程假设流动为一维水平的气液两相流，忽略边界效应，不考虑相变和表面张力，则两流体模型基本方程可表述如下［19］：∂∂t ()αk ρk +∂∂x ()αk ρk u k=0（1）∂∂t ()αk ρk u k +∂∂x ()αk ρk u 2k =-αk ∂p k ∂x +M k （2）式中：α为体积分数；ρ为密度；u 为速度；p 为压强；t 为时间；M k 为相间作用力，下标k=g ，l 分别表示气相和液相。

2.2方程组的封闭和状态方程上述方程组是不封闭的，只要给出合适的状态方程和相间作用，则它们适用于不同介质和不同流型的各种气液两相流。

本节将主要针对掺气水流的特点以泡状流为例构建封闭关系和状态方程。

作为连续相的水，在流动过程中，可以认为是等温的。

由于水的热膨胀性很小，所以水的压缩性可以采用下面简化的状态方程来表示：()∂p ∂ρl =a 2l （3）其中：a l 为水的声速。

对于空气，假设为完全气体，则其状态方程为：p g =ρg R g T g （4）式中：T 为温度（单位为K ），单位为R g 为气体常数。

气泡状态的变化，则与扰动频率相关。

文献［14］指出，在高频振动情况下，气泡来不及与周围——1016连续相发生热量传输，因而可视为绝热过程；在低频情况下，气泡有充分的时间与周围连续相发生热量传输而达到平衡状态，可近似看作等温过程。

实际的空气流动状态界于绝热和等温过程之间，是多变过程，其压力和密度的变化可用以下关系表示：()∂p ∂ρg =a 2g =KR g T g （5）式中：K 为多变过程指数。

K 与气泡直径、扰动频率和空气热扩散率有关，考虑气泡的实际传热过程将使得分析变得很复杂。

本文仅考虑绝热（对空气K =1.4）和等温过程（K =1）两种极端情况，并以此来估计简化能量方程所带来的误差。

对泡状流而言，最重要的是相间作用是阻力F D 和虚拟质量力F VM 。

即M g =-M l =F D +F VM （6）其中相间阻力为F D =-()34()c D r ρl αg |u r |u r （7）式中：u r =u g -u l ，r 为气泡半径；c D 为阻力系数，其值与流动状态有关。

文献［20］给出了各流型的阻力系数，对于处于乳状湍流区的掺气水流可取为：c D =()38()1-α2（8）虚拟质量力可表示为F VM =-c VM αρl a VM （9）a VM =∂u r ∂t +u g ∂u r ∂x （10）其中：c VM 为虚拟体积系数，采用广泛应用的Zuber 公式［21］：c VM =0.5[]()1+2α()1-α（11）3压力波色散方程的导出将式（3）、式（5）、式（7）、式（9）代入式（1）、式（2），并对气液两相分别展开得：ρg ∂α∂t +αa 2g ∂p ∂t +ρg u g ∂α∂x +αa 2g u g ∂p ∂x +αρg ∂u g ∂x=0（12）-ρl ∂α∂t +()1-αa 2l ∂p ∂t -ρl u l ∂α∂x +()1-αa 2l u l ∂p ∂x +()1-αρl ∂u l ∂x =0（13）α∂p ∂x +()αρg +c VM αρl ∂u g ∂t +()αρg u g +c VM αρl u g ∂u g ∂x -c VM αρl ∂u l ∂t -c VM αρl u g ∂u l ∂x +38c D r ρl αg |u r |u r =0（14）()1-α∂p ∂x -c VM αρl ∂u g ∂t -c VM αρl u g ∂u g ∂x +[]()1-αρl +c VM αρl ∂u l ∂t +[]()1-αρl u l +c VM αρl u g ∂u l ∂x -38c D r ρl αg |u r |u r =0（15）式（12）—式（15）就是关于变量ϕ=()α，p ，u g ，u l T 的控制方程。

假设在小扰动发生前，系统内部气液两相间处于平衡状态。

则小扰动发生后，对任一变量ϕ=()α，p ，u g ，u l T都可将其表示为：ϕ=ϕ0+ϕ′（16）其中：ϕ0为扰动前变量，ϕ′为小扰动。

显然ϕ和ϕ0都满足式（12）—式（15）。

对于小扰动ϕ′，可将其表示为如下形式：ϕ′=δϕ⋅exp []i ()ωt -kx （17）——1017其中：i 为虚数单位，i =-1；k 为波数，ω为扰动频率；δϕ为微扰动的振幅，且δϕ≪ϕ0。

将式（16）、式（17）代入式（12）—式（15）并忽略高阶小量后得：i ()ω-ku g ρg δα+i ()ω-ku g ()αα2g δp -iαkρg δu g =0（18）-i ()ω-ku l ρl δα+i ()ω-ku l []()1-αa 2l δp -i ()1-αρl kδu l =0（19）-iαkδp +éëùûi ()αρg +c VM αρl ()ω-ku g +()34()c D r ρl αg ||u r δu g +éëùû-ic VM αρl ()ω-ku g -()34()c D r ρl αg ||u r δu l =0（20）-i ()1-αkδp +()-ic VM αρl ()ω-ku g -()34()c D r ρl αg ||u r δu g +{}i ()1-αρl ()ω-ku l +ic VM αρl ()ω-ku g +()34()c D r ρl αg ||u r δu l =0（21）方程组（18）—（21）有非零解的条件是系数矩阵为零，即||||||||||||||||||||||||i ()ω-ku g ρg i ()ω-ku g αa -2g -i ()ω-ku l ρl i ()ω-ku g ()1-αa -2l -iαρg k 00-i ()1-αρl k 0-iak 0-i ()1-αk E F F G =0（22）其中：E =i ()αρg +c VM αρl ()ω-ku g +()34()c D r ρl αg ||u r （23）F =-iαρl C VM ()ω-u g k -()34()c D r αρl ||u r（24）G =i ()1-αρr ()ω-ku l +ic VM αρl ()ω-ku g +()34()c D r ρl αg ||u r （25）式（22）是关于波数k 的复系数一元四次方程，通过求解可得到4个特征根。