数学模型--狼追击兔子的问题
一、问题重述与分析
（一）问题描述
神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。
狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。
当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。
当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。
狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。
狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？
为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。
（二）
1、本题目是在限定条件下求极值的问题,可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。
2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理,结合高等数学的有关知识,对微分方程进行求解。
3、将数学求解用Matlab
4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。
二、变量说明
v：兔子的速度（单位：码/秒）
1
r ：狼与兔子速度的倍数；
2v ：狼的速度（单位：码/秒），显然有12rv v =
t ：狼追击兔子的时刻（t =0时，表示狼开始追兔子的时刻） 1s ：在时刻t ，兔子跑过的路程（单位：码），)(11t s s =
2s ：在时刻t ，狼跑过的路程（单位：码），)(22t s s =
Q ),(11y x ：表示在时刻t 时，兔子的坐标
P ),(y x ：表示在时刻t 时，狼子的坐标
三、 模型假设
1、狼在追击过程中始终朝向兔子；
2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P ),(y x 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(x y y =。
3、
四、 模型建立
（一）建模准备
以t ＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向；
则显然有兔子位置的横坐标01=x 。
对狼来说，当x ＝100，y ＝0，即0100==x y
在t ＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x 轴负方向， 则有 0100='=x y
（二）建立模型
1、追击方向的讨论
由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P ),(y x 点过狼的轨迹处的切线方向在y 轴上的截距为1y 。
设切线上的动点坐标为（X ，Y ），则切线方程为
)(x X y y Y -'=- （1）
在（1）中，令X ＝0，则截距x y y Y '-=。
此时t v y 11=。
则此时截距等于兔子所跑过的路程，即：
1y Y =，
从而可得
x y y y Y '-==1 （2）
2、狼与兔子速度关系的建模
在t 时刻，兔子跑过的路程为
t v y s 111==
（3） 由于狼的速度是兔子的r 倍，则狼跑的路程为
1
12ry rs s == （4）
狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。
dx y s x ⎰'+=100
221
（5） 联立（2）、（4）、（5）得
)(11100
2x y y r ry dx y x '-=='+⎰
（6） 对（6）两边求对x 的导数，化简得
rx
y y 2
1'+='' （7） 微分方程（7）式的初始条件有：
0100==x y
0100='=x y
3、是否追上的判断
要判定狼是否追上兔子，
可以通过（7）式判定。
对（7）式，
当x ＝0，如果计算求解得到60≥y ，则视为没有追上；
当x ＝0，如果计算求解得到60<y ，则视为兔子被追上；
五、 模型求解
由微分方程得到其Matlab 函数
function yy=odefunlt(x,y)
%以狼在追击过程中的横坐标为自变量
yy(1,1)=y(2);
yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x);
主程序：
tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x 坐标为自变量
y0=[0 0];
%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，
狼与兔之间的距离
[T,Y] = ode45('odefunlt',tspan,y0);
n=size(Y,1);
disp('狼的坐标(x=0.1)')
disp(Y(n,1))%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标
六、模型结果与分析
运行结果：
狼的坐标(x=0.1)
62.1932
通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。
七、思考题
通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。
那么兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能解决此问题，那么用什么办法解决呢？
（一）解决思路
可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。
模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：
function sim_langtu
%《狼兔追击问题》
%（离散模拟）
%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度
%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程
Q=[0 0];%兔子坐标
P=[100 0];%狼坐标
PQ=Q-P;%狼兔方向向量
step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确
count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分
PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量
trackP=P;
trackQ=Q;
for k=1:count;
P = P + 2*PQ;%2倍速度
Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量
PQ = Q - P;
trackP(1+k,:)=P;
trackQ(1+k,:)=Q;
PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量
dis= sqrt(sum((P-Q).^2));
plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+'); pause(0.5)
end%for
dis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离
P %兔子到达窝边时，狼的坐标
Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标
（二）模拟程序运行结果
dis =
7.0619
P =
1.6805 53.1410
Q =
0 60
注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。
程序结束后，输出狼兔的位置图如下。
通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。
010
203040
5060708090100010
20
30
40
50
60
八、
九、模型评价
1
可以熟练的运用Matlab 解决一些问题，对用Matlab 编程有了更加深刻的了解。
懂得了使用数学软件求解极限,积分等问题的方法。
对于追击问题的数学模型有了一定的了解，并能简单的运用。
对遇到的一
2、
许多数学公式的符号十分难输入，致使数学理论表述十分困难。
需要输入的数据太多，容易出现输入错误，特别是容易遗漏标点符号。
3、 应考虑向简单模型优化，现有的模型还是很复杂，尤其是一些数学的
计算要能非常熟练的运用微积分知识。
所以应考虑更加简便易懂的模型。