因此 D 0 ; 此时C不能为零，否则就得到u（x，t）＝0的非振动解， 因此必有
上式为杆纵向振动的频率方程，它有无限多个固有频 率。由上式可得
杆的固有角频率为（实际上还有对应于刚体运动的零 频率）：
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
由材料力学可知，扭矩与扭转应变之间的关系为
T
GIp
x
根据动力学方程，有
Ipd xt22 (T T xd)xT
由以上两式可得
Ip
2
t2
GIp
2
x2
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.3 Torsional Vibration of Rods
上述方程左边的值依赖于时间变量，而右边的值依赖 于空间变量，因此，只有当方程的左边和方程的右边等于 同一个常数，才能成立。为了使解在时域内是有限的，并 且可得到满足边界条件的非零解，设常数为-ω2，则有
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
这三阶主振型如下图所示。
1
-1 1
-1
1
-1 -1
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.3 Torsional Vibration of Rods
本节讨论等截面直圆轴的扭转振动。除了理想弹性 体假设之外，我们还假设轴的横截面在扭转振动过程依 然保持为平面。
a2
2u x2
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
利用分离变量法，设 u x ,t U xG t
代入上述一维波的方程，得到
即
G 1 dd2G t2 a2
1 d2U U dx2
Udd2G t2 a2Gdd2U x2
由于X(x）幅值的任意性，对应于ωi的振型可取
Xi
cos
i x
l
令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固
有频率和相应的主振型，即
当i
1时，1
l
E,
X1
(
x)
cos
x
l
当i
2时，2
2
l
E,
X
2
(
x)
cos
2
l
x
当i
3时，3
3
l
E,
X
3
(
x)
cos
3
l
x
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
自由端
x u 0 x
弹性载荷 惯性载荷
ku EAu x
2u mt2
EAu x
右端边界条件
ul,t0
u 0 x
k u EAu x
m2u EAu
t2
x
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
如图所示长度为dx的等 截面直圆微轴段，θ(x，t) 为扭转角，T(x，t)为扭矩。 另外设J为单位长度轴段绕纵 轴的转动惯量，Ip为轴截面 极惯性矩，ρ为单位体积质 量，G为材料的剪切弹性模量。
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.3 Torsional Vibration of Rods
k u EAu x
2u mt2
EAu x
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种 典型边界条件是：u u0,t0
a
a
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
Type
Boundary Condition
Fixed End
u0
Free End Spring Load Inertial Load
u 0 x
杆微元dx的隔离体图
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
根据牛顿第二定律 ，有
Adx2u(PPd)xP
t2
x
式中ρ是杆单位体积的质量。
由虎克定律得应力应变关系为
P E u A x
其中P是x处的轴向力，A是横截面积，E是杨氏弹性模量。
机械振动噪声与控 制
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
本节考虑的杆假设是细杆，且沿其长度方向是均质 的。由于轴向力的作用，横截面沿着杆的轴向产生位移 u ，这个位移是位置x和时间t的函数。设u(x,t)是杆的微 元dx的左横截面的轴向位移。
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
由前页两式得到
Adx2u(AEu)dx
t2 x x
2u E 2u
即
t 2 x2
设 a 2 E ，则有
其中a是杆中纵波沿 轴向传播的速度
2u t 2
例4-1 针对两端自由的杆，其边界条件为在任何时刻杆 的两端应变为零，即
将上述边界条件代入解中，得到
这里用到 ux,t 解 (D si的 n xC 表 co x 达 s)si n 式 t()
a
a
Chapter 4 Vibration of Continuous Systems
§4.2 Longitudinal Vibration of Rods
d2G 2G 0
dt2
这两个方程的一般解为
d2U
2
U
0
dx2 a2
G t A sitn B co t sU xC'cosxD 'si nx
a
a
其中A、B、C’、D’4个常数由边界条件和初始条件确定。
系统的解为
ux,t(D' si nxC' cosx)(Asi ntBcots)
a
a
(Dsi nxCcosx)sint()