专题八 极限与函数的导数的题型与方法【考点审视】极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。
纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。
从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞→是常数）,2)01lim=∞→nn ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n .(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。
对00、∞∞、∞-∞、∞•0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。
例如（2004年辽宁，14）πππ--→x x x x cos )(lim=【分析】这是00型，需因式分解将分母中的零因子消去，故πππ--→x x x x cos )(lim=x x x cos )(lim ππ+→=π2-。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。
例如：（2004年广东,4）-+++-+∞→131211(lim n n n n …+12112+-++n n n n )的值为…（ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）21（D ）1【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限12112+-++n n n n =11+-n ，∴原式=)1(lim +-∞→n nn =-1，故选)(A 。
3，无穷等比数列的公比q ，当|q |<1时，各项的和qa s -=11及重要应用。
例如（2004年上海，4）设等比数列{}n a （N n ∈）的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→++++n n a a a a =38，则=1a 【分析】 数列}{12-n a 是首项为1a ，公比是412=q 的等比数列，∴)(lim 12531-∞→++++n n a a a a =211q a -=38，解得1a =2。
4，当且仅当()()a x f x f ox x x x ==+-→→lim lim 0时，()a x f ox x =→lim ，0x x =时()x f 可有定义也可无定义。
例如下列命题正确的是……………………………………………( ) (A )若()1-=x x f ,则()0lim 1=→x f x ，()B 若()222++=x xx x f ,则()2lim 2-=-→x f x ，)(C 若()x x f 1=,则()0lim =∞→x f x ， (D)若⎩⎨⎧<+≥=)0(1)0()(x x x x x f ,则0)(lim 0=→x f x 。
【分析】 (A )中-→1x 无定义，（C ）中-∞→x 无定义，而(D)0)(lim 0=+→x f x ，1)(lim 0=-→x f x ，故()B 是正确的。
5，函数()x f 在0x x =处连续是指()()00lim x f x f x x =→，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。
例如||x y =在（0，0）处的导数存在吗？为什么？【分析】1||lim |0||0|lim 00=∆∆=∆-∆+++→∆→∆x x x x x x ，xx x ∆-∆+-→∆|0||0|lim 01||lim 0-=∆∆=-→∆xx x ∴||x y =在（0，0）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。
导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
9 导数与函数的单调性的关系㈠ 0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
㈡ 0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
㈢ 0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。
因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。
但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣ 单调区间的求解过程，已知)(x f y =（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
㈤ 函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数在b x f =)(处连续，因此)(x f 在),(c a 单调递增。
同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
)(x f y = ],[b a x ∈（1）0)(>'x f 恒成立 ∴)(x f y =为),(b a 上↑ 【经典题例】例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
解：（1）hh a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim2)()3(lim00--+-+=--+→→b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21)('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim2)()3(lim0000=+=---+-+=--+-+=→→→→（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('lim )()(lim0220=⋅=⋅-+=→→a f h h a f h a f h h 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。
解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察1)(-='n nnxx ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若)(x f 为偶函数 )()(x f x f =- 令)()()(lim0x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆xx f x x f x x f x x f x f x x ∆+-∆-=∆+--∆+-=-'→∆→∆)()(lim)()(lim )(00 )()()(lim 0x f x f x x f x '-=∆--∆--=→∆∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()(])([x f x x f x f f '-='-⋅+'='-='∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数例4．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。