数学分析下册期末试题（模拟）一、填空题（每小题3分，共24分）1、重极限22(,)limx y →=___________________2、设(,,)x yzu x y z e +=，则全微分du =_______________________3、设(sin ,)xz f x y y e =+，则zx∂=∂___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则22()Lxy ds +=⎰________.5、曲面222239x y z ++=和2223z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的法平面方程是___________________________. 6、已知12⎛⎫Γ=⎪⎝⎭32⎛⎫Γ-= ⎪⎝⎭_____________. 7、改变累次积分的顺序，2120(,)x dx f x y dy =⎰⎰______________________.8、第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰______________，其中S 为球面2221x y z ++=，取外侧.二、单项选择题（每小题2分，共16分）1、下列平面点集，不是区域的是（ ）（A ）22{(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ）（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在00(,)x y 处重极限必定不存在.（B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都存在且相等，则该函数在00(,)x y 处重极限必定存在.（C ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数都存在，则该函数在00(,)x y 处可微. （D ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则该函数在00(,)x y 处必定连续. 3、方程3230xyz x y z ++-=在原点附近能确定连续可微的隐函数形式是（ ）(A) (,)x x y z =(B)(,)y y x z =(C) (,)z z x y =(D) 以上选项都不对.4、设arctan 2z uv t =+，其中2tu e =，ln v t =，则1t dzdt=等于（ ）（A ）225e + （B ）225e - （C ）225e （D ）252e5、设平面曲线L ：()y f x =在[,]a b 上具有一阶连续偏导数，且点A 与B 的坐标分别为(,())a f a 与(,())b f b ，又设(,)P x y 和(,)Q x y 为L 上的连续函数，则沿L 从B 到A 的第二型曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰等于 （ ）（A ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（B ）[](,())(,())()abP x f x Q x f x f x dx '+⎰（C ）[](,())(,())()baP x f x Q x f x f x dx '+⎰（D ）[](,())()(,())abP x f x f x Q x f x dx '+⎰6、变换T ：x u uv =-，y uv =所对应的函数行列式(,)J u v 为（ ）(A)2u (B)2v(C) u (D) v 7、对于任意光滑封闭曲线L 中，以下第二型曲线积分中为零的是（ ） （A ）(sin )y Lx y dx xe dy -+⎰ （B ）2()2Lx y dx xydy --⎰（C ）sin()cos()Lxy dx x y dy ++⎰（D ）22L xdy ydxxy -+⎰8、下列积分区域D 中，既是x 型又是y 型的是（ ）(A)D 是由直线0x =，y x =和1y x =-所围成的闭区域. (B)D 是由直线y x =和曲线y =.(C)D 是由直线1x =，2x =和4y x =-所围成的闭区域. (D)D 是由直线y x =，0y =和曲线y =.三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求2z x y ∂∂∂3、设方程组22x u yuy v xu⎧-=⎨-=⎩确定了隐函数组(,)(,)u u x yv v x y=⎧⎨=⎩，求vx∂∂和vy∂∂4、利用含参量积分计算10lnx xdxxβα-⎰，其中0αβ<<.5、计算22Lx ydx xy dy -⎰，其中L 是以R 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B .6、利用极坐标变换计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由圆222x y x += (0)y ≥与x 轴所围成的平面区域.四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积.m长方体仓库，其中仓库顶的造价2、某工厂打算建造一个容积为25003m，仓库底面造价为300元/2m，仓库四周造价为100元/2m，为200元/2问如何设计可以使仓库的建造成本最小.参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共24分）1、22、()x yzedx zdy ydz +++ 3、12sin x f y f e ''+4、3a π 5、8(1)10(1)7(2)0x y z -+++-= （即810712x y z ++-=） 6、210(,)dy f x y dx ⎰ 8、4π二、单项选择题（每小题2分，共16分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DDCABCBB三、计算题（每小题8分，共48分）1、讨论函数2222220(,)00xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解 首先考虑(,)(0,0)lim (,)x y f x y →，当点(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时，则有 ………………（2分）2222(,)(0,0)lim (,)lim (,)lim1x y x x y kxx kx kf x y f x kx x k x k→→→=⋅===++ 由此可见，该极限值随k 的变化而变化，故此极限不存在，从而函数(,)f x y 在原点不连续. …………（4分）由偏导数的定义，0(0,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆-===∆∆ …………（6分）0(0,0)(0,0)0(0,0)limlim 0y x x f y f f y y∆→∆→+∆-===∆∆ …………（8分）2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求2z x y ∂∂∂.解 记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2f f v∂'=∂， 则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（2分）再记2112ff u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（3分）11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（6分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（7分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（8分）3、设方程组22x u yu y v xu ⎧-=⎨-=⎩确定了隐函数组(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，求v x ∂∂和vy ∂∂. 解 方程组关于x 求偏导数得122x xx x uu yu vv u xu -=⎧⎨-=+⎩…………………（3分） 解此方程组得，122v x u x v u y ⎛⎫∂=-+ ⎪∂+⎝⎭………………（4分）方程组关于y 求偏导数得212y yy y uu u yu vv xu -=+⎧⎨-=⎩…………………（7分） 解此方程组得，1122v xuy v u y ⎛⎫∂=+ ⎪∂+⎝⎭. …………（8分）4、利用含参量积分计算1ln x x dx xβα-⎰，其中0αβ<<. 解 因为ln yx x x dy xβαβα-=⎰，所以 …………………………（2分）1100ln y x x dx dx x dy x βαβα-=⎰⎰⎰.由于被积函数(,)yf x y x =在[0,1][,]αβ⨯上连续，………………………（4分）故由含参量积分连续性定理，交换积分顺序得111000ln y y x x dx dx x dy dy x dx xβαββαα-==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………（6分）11ln 11dy y βαβα+==++⎰…………………精品文档.（8分）5、计算22Lx ydx xy dy -⎰，其中L 是以R 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B .解 题设中的右半圆周从点A 到点B 的参数方程为cos sin x R y R θθ=⎧⎨=⎩， 其中θ从2π到2π-. ………………………（3分）又()sin x R θθ'=-，()cos y R θθ'=，故第二型曲线积分 …………（4分）/222422422/2(cos sin cos sin )Lx ydx xy dy R R d ππθθθθθ--=-+⎰⎰……（6分）44/2/2(1cos 4)44R R d πππθθ-=-=⎰ …………………（8分）6、利用极坐标变换计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由圆222x y x += (0)y ≥与x 轴所围成的平面区域.解 引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， …………………………（2分）则积分区域D 在此极坐标变换下变为{(,)0,02cos }2r r πθθθ∆=≤≤≤≤，………………………（4分）所以，精品文档.222/22cos 22200sin sin cos cos D y dxdy rdrd d rdr x πθθθθθθθ∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………………（6分）/2202sin 2d ππθθ==⎰……………（8分）四、应用题（每小题6分，共12分）1、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积.解 设所求区域的体积为V ，则V dxdydz Ω=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（3分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =.于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤，………………（4分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰20192)36r rdr ππ==………………（6分）2、某工厂打算建造一个容积为25003m 长方体仓库，其中仓库顶的造价精品文档.为200元/2m ，仓库底面造价为300元/2m ，仓库四周造价为100元/2m ，问如何设计可以使仓库的建造成本最小.解 设仓库的长宽高分别为x ，y ，z ，则由题设有2500xyz =. 又设建造仓库的成本为S ，则(,,)100(22)300200S S x y z xz yz xy xy ==+++500200200xy xz yz =++ …………（2分）因此，所求问题可归结为在约束条件2500xyz =下，函数(,,)S x y z 的最小值问题.构造拉格朗日函数(,,,)500200200(2500)L x y z xy xz yz xyz λλ=+++- ………（3分） 令50020005002000200200025000x yzL y z yz L x z xz L x y xy L xyz λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=-=⎩，解之得101025x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ………（5分）即仓库的长、宽、高分别为10m ，10m ，25m 时，造价最小，为150000元.………（6分）。