工程流体力学（第二版）习题与解答1 2p p 2 1 V 第 1 章 流体的力学性质1-1 用压缩机压缩初始温度为 20℃的空气，绝对压力从 1 个标准大气压升高到 6 个标准大气压。

试计算等温压缩、绝热压缩、以及压缩终温为 78℃这三种情况下，空气的体积 减小率∆V = (V 1 - V 2 )/V 1 各为多少？解：根据气体压缩过程方程： pV k = const ，有(V /V ) = ( p / p )1/ k ，所以2112(V -V ) V ⎛ p ⎫1/ k ∆ = 1 2 = 1 - 2= 1 - 1 ⎪VV V p 1 1 ⎝ 2 ⎭ 等温过程 k =1，所以∆V = 1 - p 1 / p 2 = 1 -1/ 6 =83.33%绝热过程 k =1.4，所以 ∆ = 1 - ( p / p )1/1.4= 1 - (1/ 6)1/1.4 =72.19% 压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得∆ = 1 - V 2 = 1 - p 1T 2 = 1 - 1⨯ 78=80.03% V 1 p 2T 1 6 ⨯ 201-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数 β = 4.75 ⨯10-10 m 2/N 的油， 用手轮旋进活塞达到设定压力。

已知活塞直径 D =10mm ，活塞杆螺距 t =2mm ，在 1 标准大气压时的充油体积为 V 0=200cm 3。

设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa ）。

解：根据体积压缩系数定义积分可得：β = - 1 d V → V = V exp[-β ( p - p )]pV d pp因为 ntπ D 24 = V 0 - V = V 0 ⎩⎣1 - e x p - β p ( p - p 0 ) ⎤⎦所以n = 4 V ⎡1 - e - β ( p - p )⎤ = 12.14 rpmπ D 2t 0 ⎣⎦0.05mm1kN20°图 1-12 习题 1-2 附图图 1-13 习题 1-3 附图1-3 如图 1-13 所示，一个底边为200mm ⨯ 200mm 、重量为 1kN 的滑块在 20°斜面的油膜上滑动，油膜厚度 0.05mm ，油的粘度μ= 7 ⨯10-2 Pa·s 。

设油膜内速度为线性分布，试求滑块的平衡速度u T 。

V30 ⎝ ⎭解：设油膜内速度呈线性分布，平衡时油膜内的速度梯度可计算为d u = d y u T - 0 0.05 ⨯10-3= 20000u T1/s 由牛顿剪切定理可得滑块表面处流体受到的切应力τ 为τ = μ d u= 7 ⨯10-2 ⨯ 20000u =1400 u Pad y T T滑块受到的切应力与τ 的大小相等方向相反，且滑块受到的摩擦力与滑块重力沿斜面分量平衡，所以A τ = mg sin θ → 0.2 ⨯ 0.2 ⨯1400u T = 1000sin 20 → u T ≈ 6.11m/s1-4 有一直径 d =150mm 的轴在轴承中转动，转速 n =400 r/min ，轴承宽度 L = 300mm ， 轴与轴承间隙δ = 0.25mm ，其间充满润滑油膜，油的粘度为 μ = 0.049 Pa ⋅ s 。

假定润滑油膜内速度为线性分布，试求转动轴的功率 N （注：N =转轴表面积 A ⨯表面切应力τ ⨯表面线速度v θ ）。

解：根据牛顿剪切定律有τ = μ d v θ = μ ωd /2 - 0 =μωd ， M = A τ R = π dL μωd d = πμd 3L ω d r δ 2δ πμd 3 L ω2 2δ πμd 3 L ⎛ n π ⎫22 4δ由此得轴功率为： N = M ω = 4δ = 4δ⎪ =273.47W⎝ ⎭1-5 如图 1-14 所示，已知圆形管道中流体层流流动时的速度分布为：⎛ r 2 ⎫u = 2u m 1 - R 2 ⎪其中 u m 为管内流体的平均速度。

（1）设流体粘度为 μ ，求管中流体的剪切应力τ 的分布公式；（2）如长度为 L 的水平管道两端的压力降为∆p （进口压力-出口压力），求压力降∆p 的表达式。

解：（1）根据牛顿剪切定律有τ = μd u= -4μu d r rm R2由上式可知，壁面切应力为τ 0 = -4μu m / R ，负号表示τ 0 方向与 z 相反； （2）由流体水平方向力平衡有： π R 2 ∆p + τ π DL = 0 ，将τ 表达式代入得0 0∆p =8μu m L R 21-6 图 1-15 所示为两平行圆盘，直径为 D ，间隙中液膜厚度为δ ，液体动力粘性系数为 μ ，若下盘固定，上盘以角速度ω 旋转，求所需力矩 M 的表达式。

=AτR解：固定圆盘表面液体速度为零，转动圆盘表面半径r 处液体周向线速度速度vθs=rω；设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为τ=μ∂vθ =μvθs - 0 =μrω∂δδδR 2ππμωD4所需力矩M 为：M =⎰⎰τr(r d r dθ) =0 032δr =R /2yb b'd yt= 0 t=d tαα-dαa a'u ( y)ox 图1-15 习题1-6 附图图1-16 习题1-7 附图1-7如图1-16 所示，流体沿x 轴方向作层状流动，在y 轴方向有速度梯度。

在t=0 时，任取高度为d y 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为y，对应的流体速度为u( y) ；经过d t 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的α角变为α- dα，其剪切变形速率定义为dα/d t （单位时间内因剪切变形产生的角度变化）。

试推导表明：流体的剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即dα=d ud t d y解：因为a 点速度为u，所以b 点速度为u+d ud y ；由此得a - a'、b - b'的距离为：d yaa'=u d t ，bb'= (u+d ud y)d td y所以dα≈ tan dα=bb'-aa'=d ud t 即dα=d ud y d y d t d yLR δ1n δ2δ 1-8 图 1-17 所示为旋转粘度测定仪。

该测定仪由内外两圆筒组成，外筒以转速 n （r/min ）旋转，通过内外筒之间的油液，将力矩传递至内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金属丝下，通过测定金属丝扭转角度确定金属丝所受扭矩为 M 。

若内外筒之间的间隙为δ1 ，底面间隙为δ2 ， 筒高为 L ，求油液动力粘性系数的计算式。

解：半径 R 的筒体表面磨擦扭矩为μ R ω 2π R 3 L ⎛ n π ⎫M 1 = A τ R = 2π RL δ R = μ δ 30 ⎪1 1 ⎝ ⎭筒体端部表面摩擦扭矩（相当于圆盘摩擦）为R 2πR Rr ω π μω R 4M 2 = ⎰ ⎰ τ r (r d r d θ ) = 2π ⎰τ r 2d r = 2π ⎰ μ 0 0 0 02由总扭矩 M = M 1 + M 2 解出油液动力粘性系数为r 2d r = 2δ2 μ = 2δ1δ2 M ⎛ 30 ⎫π R 3 (4L δ + R δ π ⎪2 1) ⎝ n⎭1-9 空气中水滴直径为 0.3mm 时，其内部压力比外部大多少？解：查附录表 C-1，水在常温空气中的表面张力系数σ =0.073N/m ，所以⎛ 1 1 ⎫ 2σ 2 ⨯ 0.073 ∆p = σ R + R ⎪ = R = 0.15 ⨯10-3= 973Pa⎝ 1 2 ⎭1-10 图 1-18 所示为插入水银中的两平行玻璃板，板间距δ =1mm ，水银在空气中的表面张力σ =0.514N/m ，与玻璃的接触角θ =140°，水银密度ρ =13600kg/m 3。

试求玻璃板内外水银液面的高度差 h 。

解：对于两平板间的液膜，如图所示，液面下侧压力 p 0 + ρ gh ，液面上侧压力为 p 0 ，取垂直书面方向为单位厚度，写出液膜竖直方向力平衡方程有p 0δ + 2σ cos(π - θ ) = ( p 0 + ρ gh )δ由此得两平壁间的液膜爬升高度为 h = 2σ cos θ = - 5.9 ⨯10-3 m= -5.9mmδρ g1-11 如图 1-19 所示，一平壁浸入体积很大的水中。

由于存在表面张力，在靠近壁面的地方水的表面成为弯曲面，弯曲液面垂直于 x-y 平面。

假定弯曲面曲率半径 r 可以表示成1/ r= d 2 y /d x 2 ，接触角θ 和表面张力系数σ 已知。

试确定平壁附近水面的形状和最大高度 h 。

1mmhθ图 1-18 习题 1-10 附图图 1-17 习题 1-8 附图yhθoxσyxp 0h p θGσp 0图 1-19 习题 1-11 附图水平液面以上流体受力分析解：根据弯曲表面张力压差公式，任意 x 处自由表面内外压力差为∆p = p - p = σ ( 1 + 1)R 1 R 2其中 p i 是 x 处自由表面内的压力， R 1 、 R 2 是 x 处自由表面两个正交法截线的半径。

因为 x 轴为水平液面，所以根据静力学原理，x 轴对应的水平面上压力为 p 0 ；设任意 x 处弯曲液面与水平液面的距离为 y ，根据静力学关系有p 0 = p i + ρ gy 即 ∆p = p 0 - p i = ρ gy所以ρ gy =σ ( R 1+ 1)R 2根据本题附图可知，如果取弯曲面曲线（x-y 平面内）曲率半径：1/ R 1 = d y / d x ，则 2 2与其正交的曲率半径 R 2 →∞ （因为自由液面⊥x-y 平面），于是有d y 2σd x 2- ρ gy = 0 → y = C 1e + C 2e由边界条件： x →∞ ： y = 0 ，x =0：y =h ，可得C 1 = 0 ， C 2 = h ，所以y = h exp (- ρ g /σ x)其中的 h 可根据边界条件： x = 0 ， y ' = -1/ tan θ ，表示为h = (1/ tan θ ) 或，取 z 方向为单位厚度，由 y 方向力平衡可得∞σ cos θ = G → σ cos θ = ⎰ρ g y d x →h = cos θ 或，取 z 方向为单位厚度，由 x 方向力平衡可得hhσ sin θ + hp 0 = ⎰ p d y + σ → σ sin θ + hp 0 = ⎰ ( p 0 - ρ g y )d y + σh即σ sin θ = -⎰ ρ g y d y + σ 0→ h = ρ g x σ-ρ g x σρ g /σρ g /σ2(1-sin θ ) ρg /σ 1 0 i0 1 2 1 2 1-12 如图 1-20 所示，一圆形管内装有理想塑性流体，其剪切应力与变形速率的关系由式（1-18）所描述。