二次函数知识点总结
考点一：定义
一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. a_____________b_____________ c _____________ 练习：当m 取何值时，函数是2
m
2
2)x (m y -+=是二次函数？
(1)一般式:y=ax 2+bx+c 中,
当a>0时,x=___________,y 最小=___________; 当a<0时,x=___________,y 最大=___________. (2)顶点式: ()k h x a y +=2
-,
若a>0,当x=___________,y 最小=___________;若a<0,当x=___________,y 最大=___________. 练习：
1．二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )
A.-2
B.2
C.-1
D.1 2．已知抛物线y=x 2
－（a ＋2）x ＋12的顶点在x=－3上，求a 的值及顶点的坐标． 3．已知抛物线y=x 2＋（m －1）x －41的顶点的
横坐标是2，则m 的值是 _______ ．
4、 已知二次函数y=x ²+4x+c 的顶点坐标在直线y=2x+1上，求c 的值
考点三：二次函数图象的平移：将抛物线解析式转化成顶点式，观察顶点的变化 口诀：y=a(x___________)²__________
①y=2x ²+3 y=2(x+3)²+5是先向___平移____个单位，再向____平移____个单位
②y=2x ²+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到______________________.
③y =5(x-6)²+1是___________________先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的。
练习1．抛物线1)2(2
1
2-+=x y 可由抛物线221x y =（ ）而得到。
A ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；
B ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位；
C ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；
D ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位。
2．抛物线y=x 2＋ax ＋b 向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线y=x 2－2x ＋1，则（ ）
A ．a=2，b=－2
B ．a=－6，b=6
C ．a=－8，b=14
D ．a=－8，b=18
考点四：函数的增减性
1. 当0a >时，抛物线开口_____，对称轴为2b
x a =-，y 有最小值244ac b a -,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． 当2b x a <-
时，y 随x 的_________；当2b
x a
>-时，y 随x __________； 2. 当0a <时，抛物线________，对称轴为_______,y 有最大值_______,顶点坐标为__________． 当2b x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
>-时，y 随x 的增大而减小. 练习1.已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 .
考点五.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
例： 已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
（2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 例：已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 例：已知二次函数过（0,2）（0,6）（-1,0）
练习1．如图,直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,将△AOB 绕点O 顺时针转90°得到△A 1OB 1.
(1)在图中画出△A 1OB 1;
(2)求经过A 、A 1、B 1三点的抛物线的解析式.
2、已知抛物线y=
12x 2+x-52
． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．
考点六：抛物线与坐标轴的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点, 当x=0时，交点为(______).
(2)抛物线与x 轴的交点：二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐
标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.
△>0,二次函数图象与x 轴_______交点
△=0,二次函数图象与x 轴_______交点
△<0,二次函数图象与x 轴________交点
△≥0,二次函数图象与x 轴______交点
练习1．抛物线y=x 2+2x-3与x 轴的交点的个数
有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 2．已知二次函数y=2x 2-mx-m 2.
(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x 轴总有公共点;
(2)若该二次函数图象与x 轴有两个公共点A 、B,且A 点坐标为(1,0),求B 点坐标.
考点七．a,b,c, b 2-4ac,a+b+c,a-b+c 等符号的确定
1. 二次项系数a ：开口方向 抛物线开口向上____________ 抛物线开口向下____________
2.一次项b ：抛物线的对称轴2b
x a
=-
．ab 的符号：“_________” 3. 常数项c ：与y 轴的交点位置,( ____,____ )。
4.ac b 42-：与x 轴的交点个数△=__________
5.c b a ++类：
当x=____时，y=a+b+c; 当x=____时，y=a-b+c.
当x=____时，y=4a+2b+c; 当x=____时，y=4a-2b+c.
练习1．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下面结论:
(1)a+b+c<0; (2)a-b+c>0; (3)abc>0; (4)b=2a. 其中正确的结论有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2．已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如右上图所示，给出以下结论：① a +b +c <0；②a -b +c <0；③b +2a <0；④abc >0；⑤042>-ac b 其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．②③④
B ．②③⑤
C ．①④⑤
D ．①②③
考点八：求当x 为何值时，y>0,y=0,y<0
y>0时，抛物线在x 轴______。
y=0时，抛物线在x 轴_______。
y<0时，抛物线在x 轴_______。
练习1、抛物线如图所示：a__0,b__0,c__0,a+b+c__0,a-b+c__0 当x =________时，y =0，当_____________ 时，y <0； 当-1<x <3时，y ______0；当x =_______时，y 有最______值。
2．抛物线y=-x 2+（m-1）x+m 与y 轴交于（0，3）点．
（1）求出m 的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？
（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小
3．已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）
A ．-1≤x ≤3
B ．-3≤x ≤1
C ．x ≥-3
D ．x ≤-1或x ≥3
考点八：实际应用
18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经调查：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？。