2013-2014年七年级数学上册压轴题1．（10分）如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，CD=2BD，E为线段AC上一点，CE=2AE（1）若AB=18，BC=21，求DE的长；（2）若AB=a，求DE的长；（用含a的代数式表示）（3）若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍，则的值为．考点：两点间的距离．分析：（1）利用CD=2BD，CE=2AE，得出AE=AC=（AB+BC），进一步利用BE=AB﹣AE，DE=BE+BD得出结论即可；（2）利用（1）的计算过程即可推出；（3）图中所有线段有AE、AB、AD、AC、EB、ED、EC、BD、BC、DC共10条，求出所有线段的和用AC表示即可．解答：解：（1）∵CD=2BD，BC=21，∴BD=BC=7，∵CE=2AE，AB=18，∴AE=AC=（AB+BC）=×（18+21）=13，∴BE=AB﹣AE=18﹣13，∴DE=BE+BD=5+7=12；（2）∵CD=2BD，∴BD=BC，∵CE=2AE，AB=a，∴AE=AC，∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC，∴DE=BE+BD=AB﹣AC+BC=AB﹣（AC﹣BC）=AB﹣AB=AB，∵AB=a，∴DE=a；（3）设CD=2BD=2x，CE=2AE=2y，则BD=x，AE=y，所有线段和AE+AB+AD+AC+EB+ED+EC+BD+BC+DC=4y+3（2y﹣3x）+2x+2x+3（2y ﹣3x）+2x+2x+2x+2x+2x=7（y+2y﹣3x+x），y=2x，则AD=y+2y﹣3x+x=3y﹣2x=4x，AC=3y=6x，∴=，故答案为：．点评：此题主要考查学生对两点间距离的理解和掌握，此题是一道比较好的题目，但是有一定的难度，主要考查学生的计算能力．2．（10分）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1=120°，∠2=30°，|∠1﹣∠2|=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）（1）如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；（3）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC=75°，将整个图形绕点O逆时针旋转n（0＜n ＜90°），直线AB旋转到A′B′，OC旋转到OC′，作射线OP，使∠BOP=∠BOB′，求：当n 为何值时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．考点：余角和补角；角的计算．专题：新定义．分析：（1）根据互为垂角的定义即可求解；（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解；（3）分0＜n＜75，75＜n＜90两种情况讨论可得n的值．解答：解：（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；（2）设这个角的度数为x度，则①当0＜x＜90时，它的垂角是90+x度，依题意有90+x=（180﹣x），解得x=18；②当90＜x＜180时，它的垂角是x﹣90度，依题意有x﹣90=（180﹣x），解得x=126；故这个角的度数为18或126度；（3）当n=75时OC′和OA重合，分两种情况：①当0＜n＜75时，∠COC′=n°，∠AOC′=75°﹣n°，∠POB=∠BOB′=n°，∠A′OP=180°﹣（∠POB+∠BOB′）=180°﹣2n°，∵∠A′OP﹣∠AOC′=90°，∴|（180﹣2n）﹣（75﹣n）|=90，∵0＜n＜75，∴n=15；②当75＜n＜90时，∠AOC′=n°﹣75°，∠POB=∠BOB′=n°，∠A′OP=180°﹣（∠POB+∠BOB′）=180°﹣2n°，∵∠A′OP﹣∠AOC′=90°，∴|（180﹣2n）﹣（n﹣75）|=90，解得n=55或115，∵75＜n＜90，∴n=55或115舍去．综上所述；n=15时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．点评：主要考查了互为垂角和补角的概念以及运用．互为垂角的两个角的差的绝对值等于90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．3．（8分）如图（1），长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF 对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将AEF对折，点A落在直线EF上的A′处，得折痕EN（1）若A′F：FB′：B′E=2：3：1且FB′=6，求线段EB的长度；（2）如图（2），若F为边DC的一点，BE=AB，长方形ABCD的面积为48，求三角形FEB的面积．考点：翻折变换（折叠问题）；两点间的距离；三角形的面积．分析：（1）利用翻折变换的性质得出BE=B′E，进而利用A′F：FB′：B′E=2：3：1求出B′E 的长即可；（2）利用三角形面积与矩形面积关系以及同高不等底三角形面积关系得出即可．解答：解：（1）∵将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM，∴BE=B′E，∵A′F：FB′：B′E=2：3：1且FB′=6，∴BE=B′E=6×=2，∴线段EB的长度为：2；（2）由题意可得出：S△AFB=S矩形ABCD=24，∵F为边DC的一点，BE=AB，∴S△FEB=S△AFB=×24=9．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及同高不等底三角形面积关系，正确根据图形关系得出三角形面积是解题关键．4．（8分）已知D为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE（1）如图1，若∠COF=34°，则∠BOE=68°；若∠COF=m°，则∠BOE=2m°；∠BOE 与∠COF的数量关系为BOE=2∠COF．（2）在图2中，若∠COF=75，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．（3）当射线OE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系．考点：角的计算；角平分线的定义．分析：（1）由∠COF=34°，∠COE是直角，易求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，进而可求∠BOE，若∠COF=m°，则∠BOE=2m°；进而可知∠BOE=2∠COF；（3）由前面的结论，当∠COF=75°，得到∠BOE=2×75°=150°，并且∠EOF=∠AOF=90°﹣75°=15°，再根据2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的三分之一，可得到关于∠BOE的方程，解方程得到∠BOD=15°，因此在∠BOE的内部存在一条射线OD，满足条件；（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF=90°﹣∠COF，而OF平分∠AOE，得出∠EOF=（180°﹣x）÷2，∠FOC=（180°﹣x）÷2+90°=（360°﹣x）÷2，由此可得出结论．解答：解：（1）∵∠COF=34°，∠COE是直角，∴∠EOF=90°﹣34°=56°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF=112°，∴∠BOE=180°﹣112°=68°，若∠COF=m°，则∠BOE=2m°；故∠BOE=2∠COF；故答案是68°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）存在．理由如下：如图2，∵∠COF=75°，∴∠BOE=2×75°=150°，∠EOF=∠AOF=90°﹣75°=15°，而2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半，∴2∠BOD+15°=（150°﹣∠BOD），∴∠BOD=15°．（3）∠BOE和∠COF的关系不成立．设∠BOE=x，则∠EOF=（180°﹣x）÷2，∠FOC=（180°﹣x）÷2+90°=（360°﹣x）÷2，∴∠BOE+2∠FOC=360°点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；也考查了角平分线的定义以及互余互补的含义．5．（8分）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2=0 （1）求线段AB的长；（2）如图1 点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=x﹣5的根，在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；（3）如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣BN的值不变；②PM+BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．专题：应用题．分析：（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由PA+PB=BC+AB确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有PN=n+3，PB=n﹣2，根据条件就可以表示出PM=，BN=×（n﹣2），再分别代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可．解答：解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：AB的长为5；（2）∵2x+1=x﹣5，∴x=﹣4，∴BC=6．设点P在数轴上对应的数是m，∵PA+PB=BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|=×6+5，令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．当m≤﹣3时，﹣m﹣3+2﹣m=8，m=﹣4.5；当﹣3＜m≤2时，m+3+2﹣m=8，（舍去）；当m＞2时，m+3+m﹣2=8，m=3.5．∴点P对应的数是﹣4.5或3.5；（3）设P点所表示的数为n，∴PN=n+3，PB=n﹣2．∵PA的中点为M，∴PM=PN=，．N为PB的三等分点且靠近于P点，∴BN=PB=×（n﹣2）．∴PM﹣BN=﹣××（n﹣2），=（不变）．②PM+BN=+××（n﹣2）=n﹣（随P点的变化而变化）．∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．点评：本题考查了一元一次方程的运用，分段函数的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．6．（12分）（1）已知数轴上A、B两点分别表示﹣3、5，则AB=8，数轴上M、N两点分别表示数m、n，则MN=n﹣m（2）如图1，E、F为线段AB的三等分点，P为直线AB上一动点（P不与E、F、A重合），在点P运动过程中，PE、PF、PA有何数量关系？请写出结论并说明理由考点：两点间的距离；数轴．分析：（1）根据两点间的距离公式即可得到AB和MN的长；（2）分P在A左边，P在AE上，P在EF上，P在FB上，P在B右边，五种情况讨论即可求解．解答：解：（1）由图形可知，AB=5﹣（﹣3）=8，MN=n﹣m；（2）P在A左边，PE﹣PA=PF﹣PE，即2PE﹣PF=PA；P在AE上，PE+PA=PF﹣PE，即PF﹣2PE=PA；P在EF上，PE+PF=AP﹣PE，即2PE+PF=PA；P在FB上，PE﹣PF=AP﹣PE，即2PE﹣PF=PA；P在B右边，PE﹣PF=PA﹣PE，即2PE﹣PF=PA．故答案为：8，n﹣m．点评：考查了数轴、两点间的距离，关键是熟练掌握两点间的距离公式，以及分类思想的运用．7．（4分）把一张纸剪成5块，从所得纸片中取出若干块各剪成5块，再从以上所得纸片中取出若干块，每块又剪成5块，…，如此进行下去，到剪完某一次后停止时，所得纸片总数可能是（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014考点：规律型：数字的变化类．分析：根据剪纸的规律，每一次都是在5的基础上多了4张，则剪了n次时，每次取出的纸片数分别为x1，x2，x3，…，x n块，最后共得纸片总数N，根据数的整除性这一规律可得出答案．解答：解：设把一张纸剪成5块后，剪纸还进行了n次，每次取出的纸片数分别为x1，x2，x3，…，x n块，最后共得纸片总数N，则N=5﹣x1+5x1﹣x2+5x2﹣…﹣x n+5x n=1+4（1+x1+x2+…+x n），又∵N被4除时余1，N必为奇数，而2011=502×4+3，2013=503×4+1，∴N只可能是2013．故选：C．点评：本题考查了图形的变化类，必须探索出剪n次有的纸片数，然后根据数的整除性规律求得进行判断．8．（10分）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数﹣6，点P表示的数8﹣5t（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣14；点P表示的数为8﹣5t；（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．解答：解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，∴点B表示的数是8﹣14=﹣6，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，∴点P表示的数是8﹣5t．故答案为：﹣6，8﹣5t；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，∵AC﹣BC=AB，∴5x﹣3x=14，解得：x=7，∴点P运动7秒时追上点Q．（3）线段MN的长度不发生变化，都等于7；理由如下：∵①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=×14=7，②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=7，∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．点评：本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．9．（12分）如图1，已知∠AOC=m°，∠BOC=n°且m、n满足等式|3m﹣420|+（2n﹣40）=0，射线OP从OB处绕点0以4度/秒的速度逆时针旋转．（1）试求∠AOB的度数；（2）如图l，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OQ从OA处以l度/秒的速度绕点0顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ=10°？（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O开始逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，且=，试求x．考点：几何变换综合题；角的计算．分析：（1）先根据非负数的性质求得m=140，n=20，即得∠AOC=140°，∠BOC=20°，从而得到结果；（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ=10°，则∠AOQ=x°，∠BOP=4x°．分①当射线OP与射线OQ相遇前，②当射线OP与射线OQ相遇后，两种情况，结合旋转的性质分析即可；（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE=4t°，先根据角平分线的性质可得∠COD的度数，即可求得∠BOD的度数，再根据=即可求得∠COE的度数，从而得到∠DOE、∠BOE的度数，即可求得结果．解答：解：（1）∵|3m﹣420|+（2n﹣40）2=0，∴3m﹣420=0且2n﹣40=0，∴m=140，n=20，∴∠AOC=140°，∠BOC=20°，∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=160°；（2）设他们旋转x秒时，使得∠POQ=10°．则∠AOQ=x°，∠BOP=4x°．①当射线OP与射线OQ相遇前有：∠AOQ+∠BOP+∠POQ=∠AOB=160°，即：x+4x+10=160，解得：x=30；②当射线OP与射线OQ相遇后有：∠AOQ+∠BOP﹣∠POQ=∠AOB=160°，即：x+4x﹣10=160，解得：x=34．答：当他们旋转30秒或34秒时，使得∠POQ=10°；（3）设t秒后这两条射线重合于射线OE处，则∠BOE=4t°．∵OD为∠AOC的平分线，∴∠COD=∠AOC=70°，∴∠BOD=∠COD+∠BOC=70°+20°=90°．∵，∴∠COE=×90°=40°，∠DOE=30°，∠BOE=20°+40°=60°即：4t=60，∴t=15，∴∠DOE=15x°，即：15x=30解得x=2．点评：本题考查了旋转的性质，角的计算．应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．10．（10分）如图1，已知∠AOC=2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°，（1）求∠COB的度数；（2）经过点O作射线OD，使得∠AOC=4∠AOD，求∠BOD的度数；（3）如图2，在∠AOB的内部作∠EOF，OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，当∠EOF绕点O在∠AOB的内部转动时，请说明∠AOB+∠EOF=2∠MON．考点：角的计算；角平分线的定义．分析：（1）设∠BOC=x，则∠AOC=2x，根据，∠AOC的余角比∠BOC小30゜列方程求解即可；（2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部②当射线OD在∠AOC外部，分别求出∠BOD的度数即可；（3）OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，可得∠MOE=∠AOE，∠FON=∠BOF，所以∠MON=∠EOF+（∠AOE+∠BOF），即可得2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．解答：解：（1）设∠BOC=x，则∠AOC=2x，依题意列方程90°﹣2x=x﹣30°，解得：x=40°，即∠COB=40゜．（2）由（1）得，∠AOC=80°，∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD=20゜，则∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=120°﹣20°=100°；②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD=20゜则∠BOD=∠AOB+∠AOD=120゜+20°=140°；（3）∵OM、ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线，∴∠MOE=∠AOE，∠FON=∠BOF，∴∠MON=∠EOF+（∠AOE+∠BOF），∴2∠MON=2∠EOF+∠AOE+∠BOF=∠AOB+∠EOF．即∠AOB+∠EOF=2∠MON．点评：本题考查了角平分线的定义以及角的计算，还用到了方程的思想．注意（2）要根据射线OD的位置不同，分类讨论，分别求出∠BOD的度数．11．（12分）如图1，点A、B分别在数轴原点O的左右两侧，且OA+50=OB，点B对应数是90．（1）求A点对应的数；（2）如图2，动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发，其中M、N均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t秒，问当t为何值时，点M、N之间的距离等于P、M之间的距离；（3）如图3，将（2）中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q为线段MN的中点，R为线段OP的中点，求22RQ﹣28RO﹣5PN的值．考点：数轴；两点间的距离．分析：（1）根据点B对应的数求得OB的长度，结合已知条件和图形来求点A所对应的数；（2）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t；（3）由M、N之间的距离等于P、M之间的距离列式为，列方程求出t，并求出RQ，RO及PN，再求出22RQ﹣28RO﹣5PN的值．解答：解：（1）如图1，∵点B对应数是90，∴OB=90．又∵OA+50=OB，即OA+50=90，∴OA=120．∴点A所对应的数是﹣120；（2）依题意得，MN=|（﹣120+7t）﹣2t|=|﹣120+5t|，PM=|2t﹣（90﹣8t）|=|10t﹣90|，又∵MN=PM，∴|﹣120+5t|=|10t﹣90|，∴﹣120+5t=10t﹣90或﹣120+5t=﹣（10t﹣90）解得t=﹣6或t=14，∵t≥0，∴t=14，点M、N之间的距离等于点P、M之间的距离．（3）依题意得RQ=（45+4t）﹣（﹣60﹣4.5t）=105+8.5t，RO=45+4t，PN=（90+8t）﹣（﹣120﹣7t）=210+15t，则22RQ﹣28RO﹣5PN=22（105+8.5t）﹣28（45+4t）﹣5（210+15t）=0．点评：本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是根据M、N之间的距离等于P、M之间的距离列出方程求出t．12．（12分）已知：A、B、C为数轴上三个运动的点，速度分别为a个单位/秒、b个单位/秒和c个单位/秒（a、b、c为正整数），且满足|5﹣a|+（b﹣3）2=1﹣c．（1）求A、B、C三点运动的速度；（2）若A、B两点分别从原点出发，向数轴正方向运动，C从表示+20的点出发同时向数轴的负方向运动，几秒后，C点恰好为AB的中点？（3）如图，若一把长16cm的直尺一端始终与C重合（另一端D在C的右边），且M、N 分别为OD、OC的中点，在C点运动过程中，试问：MN的值是否变化？若变化，求出其取值范围；若不变，请求出其值．考点：一元一次方程的应用；数轴；两点间的距离．分析：（1）根据条件可以得出c≥1的整数，就可以得出1﹣c≤0，在根据|5﹣a|+（b﹣3）2≥0就可以求出c的值，再由非负数的性质就可以求出结论；（2）设x秒后，C点恰好为AB的中点，就有方程3x+（5x﹣3x）=20﹣x，求出其解即可．（3）设OC=a，则OD=16+a，根据中点的定义就有ON、OM的值，就可以求出MN 的值而得出结论．解答：解：（1）∵|5﹣a|+（b﹣3）2是非负数，∴1﹣c≥0．∵c为正整数，所以1﹣c≤0，∴1﹣c=0，∴c=1；∴|5﹣a|+（b﹣3）2=0，∴5﹣a=0，b﹣3=0，∴a=5；b=3；答：A点的运动速度为5个单位长度/秒；B点的运动速度为3个单位长度/秒；C点的运动速度为1个单位长度/秒；（2）设设x秒后，C点恰好为AB的中点，由题意，得3x+（5x﹣3x）=20﹣x，解得：x=4．答：4秒后，C点恰好为AB的中点；（3）不变，MN=8．理由：设OC=a，则OD=16+a．∵M、N分别为OD、OC的中点，∴ON=OC=a，OM=OD=（16+a）=8+a．∵MN=OM﹣ON，∴MN=8+a﹣a=8．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，行程问题的数量关系的运用，数轴的运用，线段中点的运用，非负数的性质的运用，解答时求A、B、C三点运动的速度是解答本题的关键．运用中点的性质求MN的值是难点．。