(1 a1 1 a2 1 an )2
n(a12 a22 an2 ) (a1 a2 an )2

1 n
(a1
a2
an )2

a12

a22

an2
例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明: (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
a,b,c,d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式
教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西 不等式，并应用其解决一些不等式的问 题.
教学重点：会证明一般形式的柯西不等 式，并能应用.
教学难点：理解证明中的函数思想.
一、复习准备： 提问：1、二维形式的柯西不等式？ 提问：2、柯西不等式的向量形式？
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
P41 6. 设x1, x2,xn R , 且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
证 xn2 )
1 x1 1 x2
提问：3、(2)式如何得到(1)式？
二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式：
2. 教学柯西不等式的应用：
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
1 n
(a1

a2

an )2

a12

a22



a
2 n
证明: (12 12 12 )(a12 a22 an2 )
1 xn

(1
x1
1
x2
1
xn
)

( 1
x12 x1

x22 1 x2

xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2

1 xn
xn 1 xn
)2

( x1

x2

xn )2

1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
三、巩固练习 1. 练习：教材P41 4题 2. 2. 作业：教材P41 5、6题