声纳信号处理专题讲义蔡平教授2010年10月第一部分 匹配与高分辨技术一、匹配滤波匹配滤波器的冲击响应：)()(h 0t t t -=*δ（请大家找书确认一下）输入信号的镜像共轭（没有指定时域还是频域），相关器与匹配滤波器等价，输出是匹配滤波器输出的包络：dt t t x dt t t t x t )()()()()(y 0δδ⎰=-⎰=（请大家找书确认一下）结论：在线性处理中，匹配滤波（或相关滤波）可获得的信噪比最大。

在各种分辨技术中，匹配（相关）技术起到了重要的作用。

举例说明：1、傅里叶变换在一个复杂的波形中，它的基本要素是什么？（或者说有哪些波形组合）简言之，复杂波形能分解吗？它的精度如何？（1） 傅里叶变换dt e t x f X ft j π2)()(-⎰=基函数t j t e ft j ωωπsin cos 2-=- ，每个频率分量都由一个正交的接收机组成，如下图所示：c As A幅度：22)(s c A A X +=ω 相位：cs A A arctan )(-=πωϕ 结论：分解由事先设定好的一组正交接收机组成。

它的分辨能力，取决于处理时间T ，其中T1f =∆。

窄带信号的分辨力，取决于处理时间的长短。

测不准原理：π21≥⋅W T )1(≥⋅f t 窄带信号：1=⋅f t 时、频制约，宽带信号：1>⋅f t 时、频无制约。

可见窄带信号的最佳处理器就是FFT 算法的实现。

应用：声纳（雷达）发CW 脉冲接收——>短时FFT在通信中：频移键控——FSK 的最优实现FFT 算法，简称OFDM 。

上述算法是针对窄带信号（CW ），对于宽带信号LFM 信号而言，它对应为分数阶Fourier 变换（公式略）从时频域理解：搜索α角，在该斜率上积分，得到LMF 信号的匹配输出。

分数阶傅里叶变换在t-f 域上积分（t-f 面在时域上的投影）。

它的频率分辨力：T 1f =∆ 它的时间分辨力：B1t =∆ LFM 信号在时间上的投影（信号能量）。

LFM 信号当1>>TW 时可同时获得高的时间分辨力和频率分辨力，当1=TW 时，不能同时获得高的时间分辨力和频率分辨力。

分数阶傅里叶变化1>>TW ，同时具有高的时间分辨力和频率分辨力。

常规信号1=TW ，时间分辨力和频率分辨力是互相制约的。

宽带信号1>>TW ，同时具有高的时间分辨力和频率分辨力。

同理，波束也是分辨最佳。

（这段的内容讲义上不完整，有需要的同学可以请教老师）显而易见，匹配滤波技术在信号处理中占有十分重要的地位。

它的检测能力最强——完全利用了信号的能量，同时与噪声是不相关的，从而有效抑制了噪声。

t-fi f 0f j f结论：匹配滤波是各种估计（高分辨技术）的基础——也可以说，现代信号处理的诸多方法，其基础都是建立在匹配滤波的理论上。

各种线性变换都是建立在匹配滤波的基础上。

最常用的傅里叶变换：dt et x f X ft j π2)()(-+∞∞-⎰= 从公式看：时域信号被变换到频域上。

用频域的物理意义上解释)(f X 有哪些频率组成，它的强度如何？它的分辨率精度如何？问题：数据)(f X 由哪些频率分量组成，如何理解？关键：基函数ft j e π2-是已知的，理论上ω的取值是连续的，但在实际工程中取值是离散的。

∑-=∆⋅∆⋅⋅→⋅102T i j t f i t πωT1f =∆ （T 指处理时间） t ∆（满足采样定理）数据)(f X 如何被分解出各个频率分量的波形？结合匹配滤波器的原理理解，傅里叶变换的基函数：t j t e t i ωωωsin cos +=-t j t i ∆⋅∆⋅⋅+∆⋅∆⋅⋅∑∑j j j f i 2sin fi cos2ππ 其中，T1f =∆（T 指处理时间），t ∆满足采样定理。

能量谱相位谱频域显而易见：)(f X 与t i cos ω输出iE ω，由于i ω已知，则j f 频率和j E 都已知，这样就可以获得各频率上的分布。

第二部分 分数阶傅氏变换分数阶傅氏变换是对宽带信号——线性调频信号是进行匹配滤波的一种快速算法。

由于线性调频信号时宽带信号，它的匹配是在t-f 域上进行的。

线性调频在t-f 域上是一条斜线（对应线性调频的斜率）。

该频率上的能量该频率上的能量分数阶Fourier 变换，是不同斜率的线性调频信号在U 域上的一种变换。

这种变换与常规（CW 信号）的变换相比，优点在于：（1） 同时具有时、频域的分辨能力。

T1f =∆ B 1t =∆ 常规Fourier 变换——>单频CW 信号窄带信号 T1f =∆ （相互制约） 信号越长，频率分辨力越高。

缺点：时间分辨力很差。

分数阶Fourier 变换（U 域），同时具有很高的时间和频率分辨力！ 傅氏变换不能得到信号的局部信息，小波变换可以获得局部信息。

因为傅氏变换的基函数与处理时间有关，因此它的时间局部信息不能反映出来，小波就可以反映出信号的局部信息，因为它的基函数是小波基。

小波定义（略）0t 时刻（表示处理数据的时间点），基函数的波形衰落很快，在0t 两边的信号对称。

小波变换：dt ab at a t x b a WT )()(),(-⋅⋅⎰=*ϕ诸多的变换公式，都是事先给定的一组基函数（波形）。

小波的尺度可以压缩、扩张。

小波变换强调局部信息（可以进行伸缩、放大），同时可以进行时-频域的移动、放大、缩小。

维格纳分布——研究多个线性调频信号的分辨问题。

dt e t x t x f t W t f j x ⋅⋅⋅-⋅+⋅-⎰=πττ2)2()2(),(（公式需要确认） 在t 时刻，信号能量变化的情况：0=τ时，2)(t x ——>能量最大0≠τ时，时延τ，t 时刻向两边移动。

如果移动小，两个信号的相关性强，信号能量大，在t-f 面上能量最大，如果移动τ，两个信号的相关性小，那么变换后的能量就会小。

这种变化快、慢，取决于信号的形式！是研究波形的有力工具！第三部分 模糊度函数和维纳滤波很早时期（1945年左右），研究波形设计公式——模糊度函数。

模糊度函数和维格纳分布是二维傅氏变换（显然二者是一样的）。

该变换是研究形式设计的工具，如CW 脉冲。

时间分辨力差，频率分辨力好。

注意：分数阶傅氏变换和维格纳分布二者的研究对象——都是针对线性调频信号。

分数阶傅里叶变换，它的基函数是指数调频信号（复数调频）。

这种变换的基函数是线性调频信号。

维格纳分布，他先做局部相关，然后做傅氏变换，得到其功率谱。

注：多个信号的变换存在交叉项上面介绍了匹配滤波理论与各种变换之间的关系。

信号检测的角度，检测性能与信号波形无关，仅需要波形匹配——>得到信号的能量。

从分辨的角度，如果要得到高的分辨力，必须进行信号波形设计。

信号带宽，波形复杂——>可得到好的分辨力。

正如测不准原理所述：π21>>TW )1(>>tf 时间、带宽乘积越大，测量越准。

因此，从检测角度，仅与能量有关；从估计角度，不仅与能量有关，还与波形有关。

匹配滤波输出时信号的能量。

维纳滤波输出期望信号的波形——>信号波形估计。

模型如下图所示：滤波器的输出与期望输出的误差最小，输出时输入信号的波形！ 维纳滤波的三大作用：（1）滤波 )()(t s t y =（2）平滑 )()(τ+=t s t y（3）检测 )()(τ-=t s t y)(t e期望信号维纳滤波的传输响应时时变的，因为期望波形时变化的，故早期该滤波器实现是困难的。

第四部分 自适应滤波和K-L 变换60年代发展的自适应技术，推动了维纳滤波器的应用。

原理框图如下：输出误差调整维纳滤波器的权系数，使之输出的误差最小。

方法很多，常用LMS ，RS 等等。

自适应滤波器的结构通常有两种：（1） M A 模型（该框图是用VISO 画的，如果没安装该软件可能会看不到）期望信号（2） A R 模型上述介绍的滤波器，都需要一个已知的波形：匹配滤波器——>参考信号（基函数）维纳滤波器——>期望信号这两种常用方法限制了应用的范围，能不能不用事先设定基函数（或期望信号）？最佳的滤波方法——>K-L 变换K-L 变换是从被处理的数据中自适应分解出诸多不相关的基函数——>特征矢量（特征函数）和特征值（能量）。

特征矢量必须满足：)()()(t dt t g t g ij j i δ=⋅⎰特征值：i i dt t x g t x λ=⋅⎰))(()( )2,1(M i =K-L 变换时直接从被处理的数据中提取基函数)(t g i ，在保证各基函数正交的基础上可以得到一组值（特征值）表示该特征矢量的能量值。

第五部分空间域的信号检测和分辨空间匹配滤波——波束形成（1） 延时相加（宽带）（2） 相移相加（窄带）（3）宽带信号亦可分为不同的窄带相移求和（变频到一个统一的频率0f ）自适应波束形成常规波束形成亦称空域匹配滤波。

常规阵 辅助阵辅助阵将波束内信号减掉，然后用波束外的干扰和噪声去抑制波束内的干扰和噪声。

空间谱估计：将时域的K-L 变换，应用到空间域上，形成空间谱估计技术。

空间投影：Cd θτsin = 两个相邻阵元，不同之处在于一个相位差。

θλπωτθωsin 2sin d C d == 这样就定义一个空间频率的概念θλπθsin 2sin d kd =当入射方向变小时，空间采样间隔变小，空间频率变高，空间频率升高；当入射方向较大时，空间采样间隔变大，空间采样率低，空间频率变低。

因此，从直线阵列来看，它采到空间的信号频率是由信号入射角度的不同而变化。

换言之，当不同方位目标在直线阵上的投影是不同的，即入射方位i θ的不同。

在阵元（水平方向）反映出信号频率的不同（i θ小，空间频率高，i θ大，空间频率低）。

因此空间方位在直线阵的表示是不同频率变化的空间信号。

注：空间信号不一定是完整的？空域频率：θθλsin sin fd C d f == 这样，空间每一次采样（快拍，即相当于一组时间采样数据），这组数据对应的是方位θ 的一一对应关系。

这样就可以将时域上的K-L 变换直接用到空域处理。

将频域上的高分辨谱估计技术，可以完全照样用到空间处理。

目前提出的各种算法（高分辨）其理论基础是K-L 变换。

从采样数据中，自适应的分解出特征向量和特征值（注：不同的方法分解精度不同，但原理是一样的）。

在每一组空间采样中，按不同的算法可以求出特征矢量（波形）和特征值（能量）。

N 次“快拍”信号的平均，可以提高信噪比。

空间高分辨技术通过基阵投影关系，变换到对投影信号的直接基元采样（类似于时间采样）。

MUSIC 算法（1） 直接对基元采样（空间）110,-N x x x 可以得到X T R XX E ∧=][ （2） 对协方差矩阵进行特征值分解H i iH S X UU I U UR R λσ∑=+=2（该公式需要重新确认）其中s R 为信号的协方差矩阵，i λ为特征值（能量），i U 为特征矢量（波形）。