1.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．32．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝13．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．434．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝15．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝17．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233 C ．3 D ．2 8．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等9．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m10．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．12．设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．13．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．1．如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．32．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.19B.125C.15D.133．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.x 2100－y 225＝14．已知a >b >0，椭圆 C 1 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线 C 2 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为32， 则C 1，C 2 的离心率分别为( )A.12，3B.22，62C.64，2D.14，235．设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.x 23－y 2＝1B.x 24－y 212＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 212－y 24＝1 6．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.67．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的上，下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A ．3 B. 3 C ．2 D.28．双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．1＋ 2 C ．1＋ 3 D ．2＋39．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )A ．b －a <|MO |－|MT |B ．b －a >|MO |－|MT |C ．b －a ＝|MO |－|MT |D ．b －a ＝|MO |＋|MT |10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ，0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.52 C.1＋32 D.511．若双曲线x 2a 2－y 232＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝________． 12．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．13．如图：正六边形的两个顶点为某双曲线的两个焦点，其余四个顶点都在该双曲线上，则该双曲线的离心率为________．双曲线【两年高考真题演练】1．B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]2．C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]3．D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]4．B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.]5．A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎨⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 6．A [由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5.又因为一条渐近线与l 平行，因此b a ＝2，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1，故选A.]7．A [设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3，而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1－|PF 2||＝2a 2可得a 21＋3a 22＝4c 2.令a 1＝2cos θ，a 2＝2c 3sin θ， 即a 1c ＋a 2c ＝2cos θ＋23sin θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋13sin θ ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.故最大值为433，故选A.]8．A9．A [由题意，可得双曲线C 为x 23m －y 23＝1，则双曲线的半焦距c ＝3m ＋3.不妨取右焦点(3m ＋3，0)，其渐近线方程为y ＝±1mx ，即x ±my ＝0.所以由点到直线的距离公式得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.]10．A [可解方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，得两根0，－sin θcos θ.由题意可知不管a ＝0还是b ＝0，所得两个点的坐标是一样的．不妨设a ＝0，b ＝－sin θcos θ，则A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin θcos θ，sin 2θcos 2θ，可求得直线方程y ＝－sin θcos θx ，因为双曲线渐近线方程为y ＝±sin θcos θx ，故过A ，B 的直线即为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点，故选A.]11.32 [由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－b a x .由⎩⎨⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b a x ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2. 设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p 22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，∴2pb 2a 2－p 22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54. 设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.]12.x 23－y 212＝1 y ＝±2x [双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x .设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .] 13.52 [由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 与y ＝－b ax ，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b .由|P A |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2， 由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1，解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54.故c a ＝52.]【一年模拟试题精练】1．C [因为双曲线的渐近线与直线3x －y ＋3＝0平行，所以b a＝3，所以离心率e ＝2，故选C.]2．A [由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，所以M (1，4)，点A (－a ，0)，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得41＋a ＝1a，解得a ＝19，故答案为A.] 3．A [由题意知：b a ＝12，c ＝5，所以a 2＝20，b 2＝5，则双曲线的方程为x 220－y 25＝1，故选A.]4．B [由题意知，a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 2＝2b 2，则C 1，C 2的离心率分别为e 1＝22，e 2＝62，故选B.]5．C [由题意知双曲线的一个焦点为(0，2)，所以焦点在y 轴上，故选C.]6．C [因为点A 到抛物线C 1的准线距离为p ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，±p ，则双曲线的渐近线的方程为y ＝±2x ，所以b a ＝2，则离心率e ＝5，故选C.]7．C [由题意，F 1(0，－c )，F 2(0，c )，一条渐近方程为y ＝a b x ，则F 2到渐近线的距离为bc a 2＋b2＝b .设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点，又O 是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角，∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2，∴3c 2＝4(c 2－a 2)，∴c 2＝4a 2，∴c ＝2a ，∴e ＝2.故选C.]8．B [∵c ＝1，|AF 2|＝|F 1F 2|＝2＝p 2＋x A ＝1＋x A ，∴x A ＝1，∴A (1，2)．由|AF 1|＝（1＋1）2＋22＝22，即2a ＝22－2⇒a ＝2－1， ∴e ＝2＋1，选B.]9．C [连OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝OF 21－OT 2＝c 2－a 2＝b ，连接PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，∴OM ＝12PF 2，∴|MO |－|MT |＝12PF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PF 1－F 1T ＝12(PF 2－PF 1)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a .故选C.] 10．A [∵|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ，∴|EF |＝c 2－a 2＝b ，∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，|OP |＝|OF |＝c ，|PF |＝2b ，设F ′(c ，0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO 为三角形PFF ′的中位线，则|PF ′|＝2|OE |＝2a ，可令P 的坐标为(m ，n )，则有n 2＝4 cm ，由抛物线的定义可得|PF ′|＝m ＋c ＝2a ，m ＝2a －c ，n 2＝4c (2a －c )，又|OP |＝c ，即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c )，化简可得，c 2－ac －a 2＝0，由于e ＝c a ，则有e 2－e －1＝0，由于e ＞1，解得，e ＝5＋12.故选A.]11.3 [由题意知e ＝a 2＋9a ＝2，(a ＞0)，由此可以求出a 的值3.] 12.233 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点坐标为(c ，0)，(－c ，0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，则(c ，0)到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝bcc 2＝b ， 又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，∴b ＝14×2c ，两边平方，得4b 2＝c 2，即4(c 2－a 2)＝c 2，∴3c 2＝4a 2，c 2a 2＝43，即e 2＝43，e ＝233.]13．1＋3 [设正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为O ，以AD 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立直角坐标系，则c ＝1，在△AEF 中，由余弦定理得AE 2＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF cos 120°＝1＋1－2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3， ∴AE ＝3，2a ＝AE －DE ＝3－1，∴a ＝3－12， ∴e ＝c a ＝13－12＝3＋1.]。