an
1 n ( n 1)
n N*
累积法
题型2：利用累加（等差）、累积（等比）求数列的通项
小结： 1、题数型列２是小一结类特殊的函数，递推式中的n可 取任意非零自然数.
2、题型2学习了数列的两种递推关系，
一般形式为: an=an-1+f(n)和an=an-1·g(n), 其中f(n) 能够求和， g(n)能够求积.
3、采用“累加法”、“累积法”求通项时 一定要注意对n=1时的验证
题型3：构造基本数列求通项公式
例4：已知 {an} 中 数 a 11 ,列 an0 ,且 a2n 1a2n4 ,
求{ 数 an} 通 列 项
分析由 ： 条件a2n1 a2n 4可知,构造数列{bn} 其中bn a2n,则bn1 bn 4,由此可知 {bn}为等差数列，从而可求先出{bn}的通项 bn b1 (n1)4 1(n1)4 4n3 即：a2n 4n3,又an 0,an 4n3
题型3：构造基本数列求通项公式
a n 1 p a n q ( p ,q 为 常 数 且 p 1 )
{ a n k } 是 以 p 为 公 比 的 等 比 数 列 其中k pq1
求出数列的通项公式
题型3：简单构造基本数列求通项公式
例5：已知数列{an}中a1=1,且an+1=2an+3,求 {an}的通项。
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨 我的人 .以及 对我冷 漠的人 。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨 慎；对 我冷漠 的人教 我自立 。――[J·E·丁 格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明 的人是 考虑现 在和未 来，根 本无暇 去想过 去的事 。――[英国哲 学家培 根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找 全新的 景色， 也为了 拥有全 新的眼 光。― ―[马塞 尔·普 劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物 ，然而 能看到 这些美 好事物 的人， 事实上 是少之 又少。 ――[罗 丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对 人的理 智也发 生巨大 的作用 ，在这 种令人 愉快的 影响之 下，我 觉得更 加聪明 了，各 种想法 ，以异 常的速 度接连 涌入我 的脑际 。――[托尔斯 泰] 102.人生过程的景观一直在变化， 向前跨 进，就 看到与 初始不 同的景 观，再 上前去 ，又是 另一番 新的气 候―― 。[叔本 华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如 果一个 人和他 的同伴 保持不 一样的 速度， 或许他 耳中听 到的是 不同的 旋律， 让他随 他所听 到的旋 律走， 无论快 慢或远 近。― ―[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间， 而我们 应该最 担心的 也是时 间；因 为没有 时间的 话，我 们在世 界上什 么也不 能做。 ――[威 廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己 的寿命 。我们 往往只 憧憬地 平线那 端的神 奇【违 禁词， 被屏蔽 】，而 忘了去 欣赏今 天窗外 正在盛 开的玫 瑰花。 ――[戴 尔·卡内 基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎 时躺在 树底下 的草地 ，听着 潺潺的 水声， 看着飘 过的白 云，亦 非浪费 时间。 ――[约 翰·罗伯 克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我 们是因 放弃我 们的理 想而衰 老。年 龄会使 皮肤老 化，而 放弃热 情却会 使灵魂 老化。 ――[撒 母耳·厄 尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认 最快乐 的人实 际上就 是最快 乐的， 但自认 为最明 智的人 一般而 言却是 最愚蠢 的。― ―[卡雷 贝·C·科 尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的 潜在能 力。无 论是谁 ，在千 钧一发 之际， 往往能 轻易解 决从前 认为极 不可能 解决的 事。― ―[戴尔·卡内基 ] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你 的气息 ，感觉 它，感 觉你自 己，并 且试着 什么都 不想。 ――[艾 瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一 辈子工 夫，在 公司或 任何领 域里往 上攀爬 ，却在 抵达最 高处的 同时， 发现自 己爬错 了墙头 。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现 在规模 很大的 事情不 可；生 活中微 小之处 ，照样 可以伟 大。― ―[布鲁 克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你 想要的 ；然后 是享受 你所获 得的。 只有最 明智的 人类做 到第二 点。― ―[罗根·皮沙尔 ·史密 斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才 是真正 的生活 方式。 对任何 事既不 抱希望 ，也不 肯学习 的人， 没有生 存的资 格。
数列通项公式的求法
学习目标：
• （1）理解数列通项公式的概念，了解数列 是一种特殊的函数
• （2）掌握等差数列及等比数列通项公式的 推导方法
• （3）掌握求各类型数列通项公式的方法 • （4）体会方程思想、函数思想、转化思想
等数学思想方法的应用
一、基础知识回顾 二、重点题型解析
一、基础知识回顾
将以上各式相乘得： ana1qn1 (n2)
a a q 当n=1时，上式也成立。从而 n
n1 1
（“累积法”）
二、重点题型解析
题型1：归纳猜想法求数列的通项
例1、数列 2, 4,8,16的一个通项公式为 3 7 15 __________。
观察可得：
2
21 4 ;
2 1 3
22 22 1;
8 7
2
2
3
3
1
;
从而猜想：
an
( 1) n
2n 2n 1
题型2：利用累和（等差）、累积（等比）求数列的通项
例２ ：在数列{an}中,a1=0,an+1=an+2n-1 （n∈N+）求数列{an}通项公式.
累加法
反思：本例为什么能用累加法求出通项？
( ) an+1-an= df((nd)为常f数(n))能求和
（1）数列通项的概念：如果数列{ a n } 的第n 项与序号n之间的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式叫做数列的通项公式。 求数列的通项：就是寻找数列第n项与n的关系
即:an f(n)
（2）等差数列的通项公式：ana1(n1)d
证：因为 a n 为等差数列，所以当 n 2 时，有
a 2 a 1 d （“累加 法”） a 3 a 2 d
例：已知n项 数和 列 sn， 为 前 a11 2,且 an2snsn10(n2),
(1)求证 s1n 为等差数 2） 列求 a； n的（ 通项公式。
分析： 题目条件中an与Sn 共存，故采用an与SnS1 ,(n1)
n
S n S n1 ,( n 2)
例：已知n项 数和 列 sn， 为 前 a11 2,且 an2snsn10(n2),
an a1 1 3 2n 3 (n 1)2 , (n 2)
经检验： n 1时满足上式。 an (n 1)2 (n ∈ N+ )
题型2：利用累加（等差）、累积（等比）求数列的通项
思考：满足何种条件时，采用“累积法”求通项？
a n 1 g(n)(g(n)能 求 乘 积 )
an
(1)求证 s1n 为等差数 2） 列求 a； n的（ 通项公式 解 ： （ 1 ） a n s n s n 1 ( n 2 ) ,
snsn12snsn10
sn sn1 2 sn sn1
即：1 1 2 sn sn1
s1n
为等差数列
例：已知n项 数和 列 sn， 为 前 a11 2,且 an2snsn10(n2),
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
88.每个意念都是一场祈祷。――[詹 姆士·雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而 一切恶 行都围 绕虚荣 心而生 ，都不 过是满 足虚荣 心的手 段。― ―[柏格 森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变 成某种 定型的 化石， 我们的 心灵正 在失去 自由， 成为平 静而没 有激情 的时间 之流的 奴隶。 ――[托 尔斯泰 ]
a n a n1 d
a na 1(n 1 )d(n2 )
将以上各式相加可得：
ana1(n1)d
当 n=1时，也成立。从而
(3)等比数列的通项公式：an a1qn1
证：因为 a n 为等比数列，所以当 n 2 时，有
a 2q, a 3q, a 4= q, , an q
a 1
a 2
a 3
a n 1
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴 里哼着 歌儿。 倘使你 不会唱 歌，吹 吹口哨 或用鼻 子哼一 哼也可 。如此 一来， 你想让 自己烦 恼都不 可能。 ――[戴 尔·卡 内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石 工人在 他的石 头上， 敲击了 上百次 ，而不 见任何 裂痕出 现。但 在第一 百零一 次时， 石头被 劈成两 半。我 体会到 ，并非 那一击 ，而是 前面的 敲打使 它裂开 。――[贾柯·瑞斯]
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
(1)求证 s1n 为等差数 2） 列求 a； n的（ 通项公式
（ 2 ） s 1 n 为 等 差 数 列 s 1 ns 1 1 （ n - 1 ） 2 = 2 n
sn =
1 2n
又ansn-sn1=21n2(n11)