全国中考数学压轴题精选(六)51.（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？（08湖南郴州27题解析）（1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG · 1分 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠所以BEF CEG △∽△ ··············································································· 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值． ···················································· 4分 理由一：过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6， 所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ················································································ 6分 理由二：由AB ＝5，AM ＝4，可知在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：4343,,,5555EF BE BF BE GE EC GC CE ====，所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ··································· 6分 （3）设BE ＝x ，则43,(10)55EF x GC x ==- 图10MBDCEF Gx AA M xH GFED CB所以21143622[(10)5]2255255y EF DG x x x x ==-+=-- ······························· 8分 配方得：2655121()2566y x =--+． 所以，当556x =时，y 有最大值． ·································································· 9分最大值为1216． ···························································································· 10分52（08湖南郴州28题）（本题满分10分）如图13，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于()()8006A B --，、，两点．（1）求出直线AB 的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得ABC PDE S S ∆∆=101？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08湖南郴州28题解析）解：（1）设AB 的函数表达式为.b kx y +=∵()(),6,0,0,8--B A ∴⎩⎨⎧=-+-=.6,80b b k ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.6,43b k∴直线AB 的函数表达式为364y x =--． ························································· 3分 （2）设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C 。

又设对称轴与x 轴相交于点N ，在直角三角形AOB 中，.10682222=+=+=OB AO AB因为⊙M 经过O 、A 、B 三点，且为AB AOB ∴=∠,90⊙M 的直径，∴半径MA=5，∴N 为AO 的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C 点的坐标为（-4，2）． 设所求的抛物线为c bx ax y ++=2则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-=-.6,4,21.6,4162,42c b a c c b a a b ∴所求抛物线为21462y x x =--- ·································································· 7分 （3）令，0.64212=---x x 得D 、E 两点的坐标为D （-6，0）、E （-2，0），所以DE=4． 又AC=∴=,54,52BC 直角三角形的面积.20545221=••=∆ABC S假设抛物线上存在点()1,2010121101,±=∴•=••=∆∆y y DE S S y x p ABC PDE ，即使得．当.641;241±-=-=±-==x y x y 时，当时，故满足条件的存在．它们是()()()()123442,1,42,1,46,1,46,1P P P P -+---+----． ······················ 10分53（08湖南湘潭26题）（本题满分10分）已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出∆OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得∆OCD 与∆CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（08湖南湘潭26题解析）解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩2分 解得150a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩··············································· 3分故抛物线的函数关系式为25y x x =-+ ············ 4分（2）C 在抛物线上，2252,6m m ∴-+⨯=∴= ·· 5分 xy-4-6C EPDB51 246 FA G 2 -2C ∴点坐标为（2，6），B 、C 在直线y kx b '=+上∴6266k b k b '=+⎧⎨'-=+⎩ 解得3,12k b '=-= ∴直线BC 的解析式为312y x =-+ ····························································· 6分设BC 与x 轴交于点G ，则G 的坐标为（4，0）1146462422OBCS∴=⨯⨯+⨯⨯-= ························································· 7分 （3）存在P ，使得OCD ∽CPE ·································································· 8分设P (,)m n ，90ODC E ∠=∠=︒故2,6CE m EP n =-=-若要OCD ∽CPE ，则要OD DC CE EP =或OD DCEP CE=即6226m n =--或6262n m =-- 解得203m n =-或123n m =-又(,)m n 在抛物线上，22035m n n m m =-⎧⎨=-+⎩或21235n mn m m =-⎧⎨=-+⎩解得12211023,,6509m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或121226,66m m n n ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 故P 点坐标为1050()39，和(6,6)- ······························································· 10分 （只写出一个点的坐标记9分）54.（08湖南永州25题）（10分）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与坐标轴交于点A 、B 、C 且OA ＝1，OB ＝OC ＝3 ． （1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程．（3）点M 、N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边)，且MN ∥x 轴，求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．（08湖南永州25题解析）（1）依题意(10)(30)(03)A B C --，，，，，分别代入2y ax bx c =++ 1分解方程组得所求解析式为223y x x =-- ···························································· 4分 （2）2223(1)4y x x x =--=-- ···································································· 5分∴顶点坐标(14)-，，对称轴1x = ····································································· 7分 （3）设圆半径为r ，当MN 在x 轴下方时，N 点坐标为(1)r r +-， ························· 8分 把N 点代入223y x x =--得1172r -+=······················································· 9分 同理可得另一种情形1172r ++=∴圆的半径为1172-+或1172+ 10分55.（08吉林长春27题）（１２分）已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，线1x =-．（1）求k 的值；（2）求函数12y y ，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．（08吉林长春27题解析）[解] （1）由22112()2612y a x k y y x x =-++=++， 得22222121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--．又因为当x k =时，217y =，即261017k k ++=，解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．（2）由1k =，得2222610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-，所以函数2y 的图象的对称轴为262(1)a x a +=--，于是，有2612(1)a a +-=--，解得1a =-，所以2212212411y x x y x x =-++=++，．（3）由21(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，；由22224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(19)-，；故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．56（08江苏盐城28题）（本题满分12分）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC ，∠BAC≠90º，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC ＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值．（08江苏盐城28题解析）（1）①CF 与BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等； ②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º． ∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC ， 又AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD ． ∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD （2）画图正确当∠BCA=45º时，CF ⊥BD （如图丁）．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45ºA BCDEF 第28题图图甲图乙 F EDC BAF E DCB A 图丙A F∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD （3）当具备∠BCA=45º时，过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊） ∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ，容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP xx =-，221(2)144x CP x x ∴=-+=--+．∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1．57.（08江西省卷24题）（本大题9分）已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =--（其中a 为常数，且0a >）．（1）请写出三条．．与上述抛物线有关的不同类型的结论； （2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（M 在N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（E 在F 的左边），观察M N E F ，，，四点坐标，请写出一个．．你所得到的正确结论，并说明理由； （3）设上述两条抛物线相交于A B ，两点，直线12l l l ，，都垂直于x 轴，12l l ，分别经过A B ，两点，l 在直线12l l ，之间，且l 与两条抛物线分别交于C D ，两点，求线段CD 的最大值．（08江西省卷24题解析）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：①抛物线211y ax ax =--+开口向下，或抛物线221y ax ax =--开口向上； ②抛物线211y ax ax =--+的对称轴是12x =-，或抛物线221y ax ax =--的对称轴是12x =； ③抛物线211y ax ax =--+经过点(01)，，或抛物线221y ax ax =--经过点(01)-，； ④抛物线211y ax ax =--+与221y ax ax =--的形状相同，但开口方向相反； ⑤抛物线211y ax ax =--+与221y ax ax =--都与x 轴有两个交点；⑥抛物线211y ax ax =--+经过点(11)-，或抛物线221y ax ax =--经过点(11)-，； 等等． ········································································································· 3分图戊PQ AB CD EFy xAOB（2）当12a =时，2111122y x x =--+，令2111022x x --+=， 解得21M N x x =-=，． ·················································································· 4分2211122y x x =--，令2111022x x --=，解得12E F x x =-=，． ························ 5分 ①00M F N E x x x x +=+=∴，，点M 与点F 对称，点N 与点E 对称； ②0M F N E x x x x M N E F +++=∴，，，，四点横坐标的代数和为0；③33MN EF MN EF ==∴=，，（或ME NF =）． ······································· 6分 （3）0a >，∴抛物线211y ax ax =--+开口向下，抛物线221y ax ax =--开口向上． ··············· 7分根据题意，得22212(1)(1)22CD y y ax ax ax ax ax =-=--+---=-+． ·············· 8分∴当0x =时，CD 的最大值是2． ···································································· 9分说明：1．第（1）问每写对一条得1分；2．第（2）问中，①②③任意写对一条得1分；其它结论参照给分．58（08江西省卷25题）（本大题10分）如图1，正方形ABCD 和正三角形EFG 的边长都为1，点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动，设点G 到CD 的距离为x ，到BC 的距离为y ，记HEF ∠为α（当点E F ，分别与B A ，重合时，记0α=）．（1）当0α=时（如图2所示），求x y ，的值（结果保留根号）；（2）当α为何值时，点G 落在对角线AC 上？请说出你的理由，并求出此时x y ，的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：α153045607590x0.03 0 0.29 y0.290.130.03（4）若将“点E F ，分别在线段AB AD ，上滑动”改为“点E F ，分别在正方形ABCD 边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G 运动所形成的大致图形．（参考数据：62623 1.732sin150.259sin 750.96644-+==≈，≈，≈．）AH FD A (F ) D H A DH H DA（08江西省卷25题解析）解：（1）过G 作MN AB ⊥于M 交CD 于N ，GK BC ⊥于K ．60ABG ∠=，1BG =， 32MG ∴=，12BM =．312x ∴=-，12y =． ················································································· 2分 （2）当45α=时，点G 在对角线AC 上，其理由是： ········································ 3分 过G 作IQ BC ∥交AB CD ，于I Q ，， 过G 作JP AB ∥交AD BC ，于J P ，．AC 平分BCD ∠，GP GQ ∴=，GI GJ ∴=．GE GF =，Rt Rt GEI GFJ ∴△≌△，GEI GFJ ∴∠=∠．60GEF GFE ∠=∠=，AEF AFE ∴∠=∠． 90EAF ∠=，45AEF AFE ∴∠=∠=．即45α=时，点G 落在对角线AC 上． ···························································· 4分 （以下给出两种求x y ，的解法） 方法一：4560105AEG ∠=+=，75GEI ∴∠=．在Rt GEI △中，62sin 754GI GE +==， 6214GQ IQ GI +∴=-=-． ···································································· 5分 6214x y +∴==-． ················································································ 6分 方法二：当点G 在对角线AC 上时，有132222x ++=， ··················································································· 5分 解得6214x +=-B (E )A (F )D CGK M N HA DCBHE I P Q GF J6214x y +∴==-． ················································································ 6分 （3）α153045607590x0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 y0.500.290.130.030.030.13························································································ 8分 （4）由点G 所得到的大致图形如图所示：········································································· 10分说明：1．第（1）问中，写对x y ，的值各得1分；2．第（2）问回答正确的得1分，证明正确的得1分，求出x y ，的值各得1分； 3．第填对其中4空得1分；3．图形大致画得正确的得2分．59（08山东济南24题）（本小题满分9分）已知：抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于N ，请判断PM PNBE AD+是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． （3）在(2)的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．H AC DB第24题图C OxA D P M EB Ny（08山东济南24题解析）解：(1)设抛物线的解析式为2(1)3y a x =-- ............... 1分 将A (－1，0)代入: 20(11)3a =--- ∴ 34a = ................................................... 2分 ∴ 抛物线的解析式为23(1)34y x =--，即：2339424y x x =-- ............................. 3分 （2）是定值，1PM PN BE AD+= ....................................................................................... 4分 ∵ AB 为直径，∴ ∠AEB =90°，∵ PM ⊥AE ，∴ PM ∥BE∴ △APM ∽△ABE ，∴PM AP BE AB = ① 同理: PN PB AD AB= ② .................................................................................................. 5分 ① + ②:1PM PN AP PB BE AD AB AB+=+= ............................................................................ 6分 （3）∵ 直线EC 为抛物线对称轴，∴ EC 垂直平分AB∴ EA =EB∵ ∠AEB =90°∴ △AEB 为等腰直角三角形．∴ ∠EAB =∠EBA =45° ........................ 7分如图，过点P 作PH ⊥BE 于H ，由已知及作法可知，四边形PHEM 是矩形，∴PH =ME 且PH ∥ME在△APM 和△PBH 中∵∠AMP =∠PHB =90°， ∠EAB =∠BPH =45°∴ PH =BH且△APM ∽△PBH ∴PA PM PB BH = ∴ PA PM PM PB PH ME== ① ...................... 8分 在△MEP 和△EGF 中，∵ PE ⊥FG ， ∴ ∠FGE +∠SEG =90°∵∠MEP +∠SEG =90° ∴ ∠FGE =∠MEP∵ ∠PME =∠FEG =90° ∴△MEP ∽△EGF∴PM EF ME EG= ② 由①、②知：PA EF PB EG= ............................................................................................. 9分 （本题若按分类证明，只要合理，可给满分）60.(08浙江杭州24) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q（t ，b ）。