第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。

1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。

1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．6《运筹学》习题集1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。

根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。

问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本(元/千克) 每月限量（千克）A ≥60％≥15％ 2.00 2000B 1.50 2500C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200加工费（元/千克）0.50 0.40 0.30售价 3.40 2.85 2.251.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。

月份7 8 9 10 11 12买进单价28 24 25 27 23 23售出单价29 24 26 28 22 251.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。

这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。

在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。

机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。

若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。

又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。

此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本 4.,5元。

试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。

第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。

第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。

第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。

已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。

为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。

第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。

又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。

试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。

使总的工资支出为最少(- 3 -第二章对偶与灵敏度分析2．1写出以下线性规划问题的DLP1)minz＝2x1＋2x2＋4x3x1＋3x2＋4x3≥2st 2x1＋x2＋3x3≤3x1＋4x2＋3x3＝5x1，x2≥0，x3无约束2)max z＝5x1＋6x2＋3x3x1＋2x2＋2x3＝5st－x1＋5x2－x3≥34x1＋7x2＋3x3≤8x1无约束，x2≥0，x3≤03)max z＝c1x1＋c2x2＋c3x3a11x1＋a12x2＋a13x3≤b1st a21x1＋a22x2＋a23x3＝b2a31x1＋a32x2＋a33x3≥b3x1≥0，x2≤0，x3无约束2．2对于给出的LP：minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4x1＋2x2＋3x3＋x4≥2st－2x1＋x2－x3＋3x4≤－3x j≥0 （j=1,2,3,4）1)写出DLP；2)用图解法求解DLP；3)利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3对于给出LP：maxz＝x1＋2x2＋x3x1＋x2－x3≤2st x1－x2＋x3＝12x1＋x2＋x3≥2x1≥0，x2≤0，x3无约束1)写出DLP；2)利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤12．4已知LP：max z＝x1＋x2－x1＋x2＋x3≤2st－2x1＋x2－x3≤1x j≥0《运筹学》习题集- 5 -试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5 给出LP ： maxz ＝2x 1＋4x 2＋x 3＋x 4 x 1＋ 3x 2 ＋x 4 ≤8 2x 1＋ x 2 ≤6 st. x 2 ＋ x 3＋ x 4≤6x 1＋ x 2 ＋ x 3 ≤9 x j ≥01) 写出DLP ；2) 已知原问题最优解X ＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题1) minz ＝4x 1＋12x 2＋18x 3 x 1 ＋3x 3 ≥3st 2 x 2＋2x 3 ≥5 x j ≥0 (j=1,2,3)1231231231232)min 524324.63510,,0z x x x x x x st x x x x x x =++++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩2．7考虑如下线性规划问题 minz ＝60x 1＋40x 2＋80x 3 3x 1＋2x 2＋ x 3 ≥2 st 4x 1＋ x 2＋3x 3 ≥4 2x 1＋2x 2＋2x 3 ≥3x j ≥0 1) 写出DLP ；2) 用对偶单纯形法求解原问题； 3) 用单纯形法求解其对偶问题； 4) 对比以上两题计算结果。

2．8 已知LP ：maxz ＝2x 1－x 2＋x 3 x 1＋ x 2＋ x 3≤6 st －x 1＋2x 2 ≤4x 1，x 2，x 3≥0 1) 用单纯形法求最优解2) 分析当目标函数变为maxz ＝2x 1＋3x 2＋x 3时最优解的变化； 3) 分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

2．9给出线性规划问题maxz＝2x1＋3x2＋x31/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1st 1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3x j≥0试分析下列各种条件下，最优解（基）的变化：1)目标函数中变量x3的系数变为6；2)分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变；3)约束条件的右端由 1 变为 2 ；3 32.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。

（2）原料A、B的影子价格各为多少。

（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。

（4）工厂可在市场上买到原料A。

工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。

已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。

又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。

求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。

甲乙丙可供量A 5 4 －1000B 16 8 9 2000C 12 10 11 2000《运筹学》习题集第三章运输问题3．13．23．33.4 某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。

假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最3.5 光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。

已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元。

在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。

加班生产机器每台增加成本1万元。

问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？3.6 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。