此抛物线的表达式为 y =
1 4
x2
+
1 2
x
+
2
a=
1 4
,
c = 2.
2 由 S ADG : S AFG = 3 : 2 得 DG FG=3 2，DF FG=5 2，
设 OF = m ，得 AF = 4
m ， DF =
1 4
m2
+
1 2
m
+
2
，
由
FG
//OB，得
FG OB
=
AF OA
，
FG
=
4
m 2
DON
的面积为
3 2
3 时，求 AE 的长
解析
5 / 70
变式4
如图 1，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，对角线 AC BC ，AD = 4 cm， D = 45° ，
BC = 3cm
1 求 cos B 的值；
2 点 E 为 BC 延长线上的动点，点 F 在线段 CD 上 点 F 与点 C 不重合），且满足
6，2
代入
y
=
kx
，解得
k
=
1 3
所求反比例函数的解析式为
y
=
1 3
x
2
AB//x 轴，
点
B
纵坐标为
3，将
y
=
3
代入
y
=
12 x
，得
x
=
4
B 坐标为 4，3
AB=BO， a 4 = (4 0)2 + (3 0)2 解得 a = 9 点 A 坐标为 9，3
2 / 70
3 不变 延长 AB 交 y 轴于点 D，延长 AC 交 x 轴于点 E，
A( 1, 0), B(3, 0) 两点，对称轴 l 与 x 轴相交于点 C ，顶点为点 D ，且 ADC 的正切值为 1 2
1 求顶点 D 的坐标；
2 求抛物线的表达式；
8 / 70
3 F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结 AF ，若 FAC = ADC ，求 F 点的坐 标
解析 1 抛物线与 x 轴相交于 A( 1,0) ， B (3,0) 两点，
坐标
1 / 70
变式1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为 (a,3) 其中 a > 4 ），射线 OA 与
反比例函数
y
=
12 x
的图像交于点
P，点
B、C
分别在函数
y
=
12 x
的图像上，且
AB
//
x
轴，AC
//
y
轴
1 当点 P 横坐标为 6，求直线 AO 的表达式；
2 联结 BO，当 AB = BO 时，求点 A 坐标；
当点
E
在线段
BC
上，同理可得：
1 2
×
(3
BE) × 4 = 4 .∴ BE = 1.所以 BE 的长为 5 或1.
角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题
例题3
已知在平面直角坐标系 xoy
如图
中，抛物线
y
=
1 2
x2
+
bx
+
c
经过点
A(4, 0)
、点
C(0, 4) ，点 B 与点 A 关于这条抛物线的对称轴对称；
例题1 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x2 + bx + c 经过点 A 3，0 和 B 2，3
的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C，且 tan
CAO
=
1 3
y
1 求这条抛物线的表达式及对称轴；
过点 A
B
2 连接 AB、BC，求 ABC 的正切值；
O
A
x
C
3 若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S ABC = S ADC 时，求点 D 的
联结 CP ，若 CPM 的面积为 2，则请求出点 P 的坐标；
解析：（1）设这条抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c(a
0)
它的顶点坐标为
(1,
16 3
)
（2）过点 P 作 PH AC ，垂足为 H. ∵P 点在 x 轴的正半轴上，∴设 P x，0 .∵A ( 1,0) ，∴ PA = x +1. ∵在 Rt AOC 中， OA2 +OC2 = AC2 ；又∵ OA = 1，OC = 4 ∴ AC = 17
( ) 设 F x, x2 2x 3 ， FAC = ADC ， tan FAC = tan ADC ，
tan
ADC
=
1 2
，
tan
FAC
=
FH AH
=
1 2
FH = x2 2x 3 ， AH = x +1，
x2 2x 3 1 x+1 = 2
解得
x1
=
7 2
，
x2
=
1
舍），
F 7,9 24
巩固1
如图，在直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2 2ax + c 与 x 轴的正半轴相交于点
x2 ( 4 x )2 5 16 + 16 = 8
即得 x2 4x + 3 = 0 解得 x1= 1 ， x 2= 3
AM 的长为 1 或 3
变式3
已知直线 l1 、 l2 ， l1 // l2 ，点 A 是 l1 上的点，B、C 是 l2 上的点， AC BC ，
ABC = 60° ，AB = 4 ，O 是 AB 的中点，D 是 CB 延长线上的点，将 DOC 沿直线 CO 翻折，
2
∴
1 2
CM
PH
=
2
，∴
1 2
17(3 4
x)
4(x +1) 17
=
2
解得
x
=
1.
P 1，0
② 点 P 在点 B 的右侧时， BP = x
3 ，∴
x3 4
=
CM 17
∴ CM
=
17( x 4
3)
∵ S△PCM
=
2
∴
1 2
CM
PH
=
2
，∴
1 2
17( x 4
3)
4(x +1) 17
=2ຫໍສະໝຸດ 解得 x1 = 1+ 2 2 ， x2 = 1 2 2 （不合题意，舍去） ∴P（1+ 2 2 ，0）. 综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+ 2 2 ，0） 角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题
y B
OC
Ax
解析 1
抛物线 y = ax2 2ax + c 的对称轴为直线 x =
2a a
=
1，
OC=1，OA=OC+AC=4， 点 A 4，0
∠OBC=∠OAB， tan∠OAB=tan∠OBC，
OB OA
=
OC OB
，
OB 4
=
1 OB
，
OB=2，
点B
0，2），
2 = c, 0 = 16a 8a + c,
又 AFC = ADE ，∴ FAD = EDC .∴ ADF
DCE
.∴
AD DC
=
DF CE
.
在 Rt ADC 中， DC2 = AD2 + AC2 ，又 AD = AC = 4 ，∴ DC = 4 2 .
∵ BE = x ，∴ CE = x
3
.
DF
=
y
，∴
4 42
=
x
y
3
.
y
=
2x 2
32 2
.定义域为
点 D 与 D ' 重合
1 如图 1，当点 D' 落在直线 l1 上时，求 DB 的长；
2 延长 DO 交 l1 于点 E，直线 OD' 分别交 l1 、 l2 于点 M、N
①如图 2，当点 E 在线段 AM 上时，设 AE = x ， DN = y ，求 y 关于 x 的函数解析式及其定义
域；②若
，
(
1 4
m2
+
1 2
m
+
2)
:
4
m 2
=
AD
=
2
2
， S
四边形MENF
=
3 8
S
ADN
S
AME + S
DMF =
5 8
S
ADN
即得 S
S
AME ADN
+
S S
DMF ADN
=
5 8
ME//DN，∴△AME∽△AND
S S
AME ADN
AM 2 = AD2
同理可证，△DMF∽△DNA
即得 S
S
DMF ADN
DM 2 = AD2
设 AM=x，则 DM = AD AM = 4 x
3 联结 BP、CP，试猜想 S ABP 的值是否随 a 的变化而变化？如果不变，求出 S ABP 的
S ACP
S ACP
值；如果变化，请说明理由
y
y
B
A
P
C
O
x
O
备用图
x
解析 1
反比例函数
y
=
12 x
的图像经过横坐标为
6
的点
P，
点 P 的坐标为