变式2
解： 直线 l : mx y 2 m 0 (m R)
恒过定点A(1, 2)，
而A点在圆C内， 所以直线l与圆相交。
y x
【典题拓展】
变式2 求直线 l : mx y 2 m 0 (m R) 与圆 C : x2 ( y 1)2 5 的相交弦中， 最长弦长和最短弦长。 y
【引入新知】
y
.
代数法
x
交点问题（个数）
方程组解的问题
【引入新知】 判断直线和圆的位置关系方法
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r 相交 d r相切 d r相离
典题拓展】
变式1 变式2
判断直线 l : mx y 3 0 (m R) 和圆C : x2 ( y 1)2 5 的位置关系
判断直线l : mx y 2 m 0 (m R) 和圆C : x2 ( y 1)2 5 的位置关系
问题：对于变式2，你还能用什么方法 求解呢?
【典题拓展】
k2 1
k 4 3
所以直线方程为： 4x 3y 20 0
【合作讨论】
变式
过点A（2,4）作圆 C : (x 3)2 ( y 1)2 1
的切线l，求切线 l的方程。 x 2或者4x 3y 20 0 y
A（2,4）
数形结合，先画图
x
题型小结：过一个点求圆的切线方程，应先判断点与圆的位置， 若点在圆上，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条，设切 线方程时注意分斜率存在和不存在讨论，避免漏解。
x
【典题延伸】
例2、过点A（3,2）作圆C : (x 3)2 ( y 1)2 1 的切线 l，求切线 l的方程。
【合作讨论】
变式
过点A（2,4）作圆 C : (x 3)2 ( y 1)2 1
的切线l，求切线 l的方程。
设所求的直线方程为：y 4 k(x 2)
请你来 找茬
即 kx y 4 2k 0. 所以 d k 3 解 得1 r
人教A版（必修4）Chap4— §4·2·1
《直线和圆的位置关系》
.
O
.
李 璜 湖州二中
【引入新知】
相交
r.
d
d r
几何法
相切
相离
r.
r.
d
d
d r
d r
【引入新知】 判断直线和圆的位置关系方法
几何方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
d r 相交 d r相切 d r相离
【复习回顾】
点和圆的位置关系有几种？
A C
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r; d=r； d<r.
数形结合：位置关系
数量关系
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
. 风的北影响？港口
.
O
轮船
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
. 风的影响y？ 港口
.
O
轮船 x
课题
直线L与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
【典题例证】
求它们的交点坐标。
解：联立方程得：
3x y 6 0
x
2
y2
2y
4
0
解得：xy
2 0
或
x 1
y
3
所以直线与圆共有两个 交点，分别是（2,0） （1,3）
并求弦AB的长度
y
L B
C. A
O
x
AB 10
【典题例证】
例1改编、如图，已知直线L:3x+y-6=0和圆 心为C的圆x2 y2 2 y 4相交0 ，求弦AB的长度
点Ｏ到直线L的距离 d | 0 0 28 | 28 3.5
65
65
圆Ｏ的半径长r=3 因为３.５＞３，所以， 这艘轮船不必改变航线，
y B
不会受到台风的影响．
0
A
x
【典题例证】
例1、如图，已知直线L:3x+y-6=0和圆心为 C的圆x2 y2 2 y ，4 判 0断直线L与圆的位置关系； 如果相交，求它们的交点坐标。
没有公共点 方程组无实 d>r △<0 根
【小试身手】
试解本节引言中的问题．
【生活实例】
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域。已知港口位于台风中心正北40km处， 如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台
0相交 0相切 0相离
【方法小结】
位置 关系
相 交
图形
相 切
相 离
几何特征
方程特征
判定方法
几 何 代数 法法
【方法小结】
位置 关系
相 交
图形
相 切
相 离
几何特征
有两个公共 点
方程特征
判定方法
几 何 代数 法法
方程组有两 个不同实根 d<r △>0
有且只有一 方程组有且
个公共点
只有一个实 d = r △=0 根
. 风的影响y？ 港口
.
O
轮船 x
【小试身手】
试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立
如图所示的直角坐标系，其中取１０km为单位长
度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ
方程为 x 2 y 2 9；
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0；
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
圆的半径是r，圆心到直线L 的距离是d，AB是弦长，则
有 r2 d 2 ( AB)2 2
y
L B
D
C. A
O
x
【初试身手】
练习:分别判断下列直线和圆的位置关系
① l : 4x 3y 40 , 圆C : x2 y2 36 ; ② l : y x 1 , 圆C : x2 y2 25 ; ③ l : 4x 3y 8 0 , 圆C : x2 y2 2 y 0 .
数形结合
y
L B
C. A
O
x
【典题例证】
几何法
代数法
圆心C（0，1）到直线L的
距离
| 30 1 6|
d
5
5r
32 12
10
所以 , d<r
所以直线L与圆C相 交
3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0
消去y得：x2-3x+2=0
=(-3)2-4×1×2=1>0
所以方程组有两 解，