清华大学固体物理：第六章晶格动力学6.1固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。

事实上，借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了目前固体的量子力学图像是正确的。

晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。

这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。

直到1970年才系统地研究了这些联系。

一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，才有可能计算特殊系统的晶格动力学性质。

现在用ab initio 量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就可以计算特殊材料的特殊性质。

在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振动的线性响应理论，大量的ab initio 计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。

密度泛函微扰理论是在密度泛函理论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。

感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区的精细格子上精确计算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。

由此系统的一些物理性质（如比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等）可以计算。

1从固体电子自由度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927) 的绝热近似。

在这个近似中，系统的晶格动力学性质由以下薛定谔方程的本征值,R和本征函数决定。

,22ERRR,,, (6.1.1) 22MRIII这里RRER是第I个原子核的坐标，是相应原子核的质量，是所有原子核坐标的集合，是RMIII系统的系统的限位离子能量，常常称为Born-Oppenhermer能量表面。

ER是在固定原子核场中运动的R相互作用电子系统的基态能量。

他们依赖参量作用在电子变量上的哈密顿量为 2222Zee1IHERR (6.1.2) 2BONijiI22mrrRiIirrij这里eER是第I个原子核的电荷数，是电子电荷，是不同核之间的静电相互作用： ZNI2ZZeIJER (6.1.3) NIJ2RRIJ系统的平衡几何排布由作用在每一个原子核上为零决定：ERF0 (6.1.4) IRI而振动频率,由Born-Oppenhermer能量的Hassian本征值决定，由原子核的质量标度为：2ER12 (6.1.5) det0,RRMMIJIJ这样系统平衡几何排布和振动性质的计算实际是计算Born-Oppenhermer能量表面的一阶和二阶微分。

实现这一目标的基本工具是Hellmann-Feynman定理：依赖于参数哈密顿量本征值的一阶微分由哈密H,,顿量微分的期待值给出：EH,,,, (6.1.6) ,,,,是对应于本征值哈密顿量的本征函数：HE,,。

在Born-Oppenhermer中原子核的坐标作,EH,,,,,,,为方程（2）中电子哈密顿量的参数。

在电子基态作用在第I个原子核上的力为EHRRBOFRR,, (6.1.7) IRRII,rR,是Born-Oppenhermer哈密顿量的电子基态波函数。

这个哈密顿量通过电子－离子相互作用依赖R于，电子－离子相互作用仅仅通过电子电荷密度耦合到电子自由度。

在这种情况下Hellmann-Feynman定理表述为172VErRRN (6.1.8) FrrndIRRRII这里Vr是电子和原子核之间的相互作用 R2ZeIr (6.1.9) VRiIiIrRRnr是对应于原子核排布的基态电子电荷密度。

在方程（5）中出现的Born-Oppenhermer能量表面的RHessian是通过Hellmann-Feynman力相对于原子核坐标的微分得到的：222EnVVERrrrRFNIRRR (6.1.10) dndr+rr+RIJJJIIJIJRRRRRRRRR方程 (6.1.10) 说明Born-Oppenhermer能量表面的Hessian计算需要计算基态电子电荷密度nr和原子R核几何排布变形的线性响应nrR。

这个Hessian矩阵通常称为原子间力常数矩阵。

RI2Hohenberg-Kohn根据前面的讨论，相应于原子核坐标的Born-Oppenhermer能量表面微分的计算需要电子电荷密度分布的知识。

这实际上是 Hohenberg-Kohn 定理描述的相互作用电子系统一般性质的特例。

根据这个定理，不可能有两个不同的势作用在给定系统上给出相同的基态电子电荷密度。

这个性质和标准的量子力学的Reyleigh-Ritz 变分原理一起显示存在电子电荷密度普适泛函，这个泛函(6.1.11) EnFnnVdrrr在nrVr的积分等于总电子数的约束下相应于外加势的基态的电子电荷密度的情况下取极小值。

这个极小值就是基态能量。

这个定理提供了现行的密度泛函理论的基础。

这允许对探求具有相互作用的电子系统基态性质的量子力学问题进行巨大的概念的简化，传统的依赖于N个电子，3N独立变量的波函数的描述，被易处理的只有3个变量的电荷密度代替。

妨碍这个不平常的简单结果直接应用的两个主要问题是：(1) F函数的形式是不知道的，(2) 满足nr作为一个可接受的基态电荷分布和F函数的域的条件很不清楚。

这第二个问题几乎不被强调，通常是利用拉格朗日乘子使电荷密度适当正交化的内容。

第一个问题可以通过将系统变换到一个没有相互作用的电子系统（Kohn-Sham）。

Kohn-ShamHohenberg-Kohn定理说明了相互作用电子系统的所有物理性质都唯一地由此电子系统的基态电荷密度分布决定。

这个性质不依赖于电子电子相互作用的精确的形式。

特别是当电子电子相互作用强度消失时，FnTn定义为无相互作用电子系统的动能，作为基态电荷密度分布的泛函。

这个事实1965年被0Kohn-Sham用来将一个相互作用的电子系统变换到一个等价的无相互作用的系统。

结果这个不知道的泛函Fn投射为2nnrr'eFnTnddEnrr' (6.1.12) 0XC2'rr第二项是电子电荷密度分布的经典静电自相互作用。

由 (6.1.12) 式定义的En 被称为交换相关能。

在XC电子数不变的条件下能量泛函相对于nr的变分在形式上导致一个相同的方程，这个方程对无相互作用电子系统成立，这些电子感受到一个有效势，也称为自洽场势，他的形式为：nr'2VVedrrrr', (6.1.13) SCFXCrr'其中,EXC,r (6.1.14) XC,nr是交换相关能的泛函导数。

也称为交换相关势。

这个技巧的威力在于，如果知道了有效势Vr，无相互作用多电子问题就可以很一般地解出，不SCF需要知道无相互作用动能泛函T的形式。

最后，简单地解单电子薛定谔方程：022Vrrr,,ε (6.1.15) 2SCFnnn2mr173基态电荷密度分布和无相互作用动能泛函借助于辅助的Kohn-Sham轨道,r得到： nN22 (6.1.16) nrr2,nn1222N,rn (6.1.17) Tnd2,rr0n21n2mrN是电子数。

系统假定为非磁的。

在最低的个轨道的每一个轨道上容纳自旋相反的两个电子。

在周N2k期系统中，指数n可以通过两个指标取遍所有的占据态：n,,k，,指明一组价带，是属于第一布里渊区的波矢。

在方程 (6.1.11) 和 (6.1.12) 中给出的基态能量可以按照Kohn-Sham本征值等价地表示出来：N22nnrr'e (6.1.18) EnddEnnnd2'εrrrrr,nXCXCn12'rr方程 (6.1.15) 有非线性薛定谔方程的形式，他的势通过电子电荷密度分布依赖于自己的本征函数。

一旦交换关联能的明确的形式可以得到，这个方程可以用种种方法以自恰的方式解出。

如果交换关联能有一个精确的合理的容易使用的近似，Kohn-Sham方案建立了一个实用的途经实现密度泛函理论En。

1965年Kohn和Sham在他们的原始论文中提出一个假定：系统的每一个电荷密XC度被认为是常数的小体积，贡献一个和相同体积相同密度均匀电子气相同的交换关联能。

依照这个假定，交换关联能泛函和势为：Ennndεrr (6.1.19) XCXCnnrdnεXCnnn,rε (6.1.20) XCXCdn nnrεn是密度为n的均匀电子气中每一个粒子的交换关联能。

这个近似称为局域密度近似（LDA）。

XCεn的近似形式已经知道很长时间了。

由Ceperley和Alder给出的从几乎精确的Monte Carlo计算得XC到的均匀电子气的数值结果，被Perdew和Zunger用简单的解析形式参数化了。

最近Ortiz和Ballone提出了更精确的参数化形式。

所有这些不同的形式在和凝聚态物质应用相关的电子密度范围内是非常相似的并产生非常类似的结果。

LDA在高密度极限和缓慢变化电荷密度分布的情况下是精确的。

尽管这个近似极其简单，已经取得了比原来期待的更为成功。

对于弱关联的材料，如半导体和简单金属，LDA近似精确地描述了结构和振动性质：正确的结构往往具有最低的能量。

而键长、体积模量和声子频率精确到百分之几之内。

LDA也具有一些共知的缺点。

基态内聚能和分子键能的过分高估（～20％）可能是这个近似的最坏的失败。

同时也不能恰当地描述强关联系统如过渡金属氧化物。

已经作了寻找比LDA更好泛函的努力。

对于LDA的梯度修正是近年来普遍采用的。

梯度修正改善在有限和半无限系统中电子关联的重要性。

如分子和表面，而在无限晶体中没有什么用处。

一般说，LDA是一个基态理论，而Kohn-Sham本征值和本征矢没有一个很好的定义。

不过，在没有更好的同样普遍的方法情况下，Kohn-Sham本征值常常用来估算激发能。

用此方法得到的固体中的低能带的特征一般认为至少定性的是正确的，尽管事实上都知道LDA充分地低估了绝缘体中的光学能隙。

3在晶态固体中，出现在原子间力常数定义方程 (6.1.5) 中的原子核的位置通过指数I来标注。

它指明单胞l及其中给定原子的位置Ils,。

第I个原子的位置为：RRul (6.1.21) IlssulR是第l个单胞在布拉菲格子中的位置。

是原子在这个单胞中的平衡位置。

是原子核位置从平sls衡位置的偏离。

由于平移不变性，方程 (6.1.10) 中的原子间力常数矩阵仅仅通过差RRR依赖于 lm2E,,,,ClmC,RR (6.1.22) ststlm,,ulumst,,,,RCq上标希腊字母指明笛卡尔分量。