科组长签字：高中数学必修4 平面向量基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----AB u u u r(几何表示法)；②用字母a r 、b r等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r r，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y r，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i r (1,0) ，j r (0,1) ，0(0,0) r。

a r ),(11y x A ，),(22y x B ，则1212,y y x x，AB3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.||a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一）||b a b a a bu r ru r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度---1221//(0)0a b b x y x y r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2性质：0a b a b r u r r rg1212a b x x y yr u r（其中1122(,),(,)a x yb x yr u r）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

平行四边形法则：AC a bu u u r r r（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）DB a bu u u r r r三角形法则,加法首尾相连减法终点相连方向指向被减数——加法法则的推广：112nAB AB B Bu u u u r u u u r u u u u r……1n nB Bu u u u u u r即n个向量12,,a au r u u r……nau u r首尾相连成一个封闭图形，则有12a au r u u r 0nau u r r②向量的减法向量ar加上的br相反向量，叫做ar与br的差。

即：arbr= ar+ ( br)；差向量的意义：OA= ar, OB=br, 则BA=arbr③平面向量的坐标运算：若11(,)a x yr，22(,)b x yr，则a brr),(2121yyxx，a brr),(2121yyxx，(,)a x yr。

④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)⑤常用结论：（1）若1()2AD AB ACu u u r u u u r u u u r，则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心，则0GA GB GCu u u r u u u r u u u r r7．向量的模：1、定义：向量的大小，记为 |ar| 或 |ABu u u r|2、模的求法：若 (,)a x y r，则 |a r |22x y若1122(,),(,)A x y B x y ， 则 |AB u u u r |222121()()x x y y3、性质：（1）22||a a r r ；22||(0)||a b b a b r r （实数与向量的转化关系） （2）22||||a b a b r r r r ，反之不然（3）三角不等式：||||||||||a b a b a b r r r r r r （4）||||||a b a b r r r r g （当且仅当,a b r r共线时取“=”）即当,a b r r 同向时 ，||||a b a b r r r r g； 即当,a b r r 同反向时 ，||||a b a b r r r rg （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即22222||2||||||a b a b a b r r r r r r 8．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb交换律：a b b a r r r r gg ; 分配律：()a b c a c b c r r r r r r rgg g ( )·b r = (·b r )=·( b r); ——①不满足结合律：即()()a b c a b c r r r r r r gg g g ②向量没有除法运算。

如：a b c b a c r r r r r r gg ，2a a a b br r r r r g 都是错误的 （4）已知两个非零向量,a b r r，它们的夹角为 ，则a b r r g =||||cos a b r r坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y r u r ，则1212a b x x y y r u rg（5）向量AB a u u u r r在轴l 上的投影为：︱a r ︱cos ， （ 为a n r r与的夹角，n r 为l 的方向向量） 其投影的长为//||a n A B n r r g r （||n n r r 为n r 的单位向量）（6）a b r r与的夹角 和a b r r g的关系： （1）当0 时，a b r r 与同向；当 时，a b r r与反向（2） 为锐角时，则有0,a b a b r r g r u r 不共线； 为钝角时，则有0,a b a b r r gr u r不共线9．向量共线定理：向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。

10．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 。

(1)不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量。

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y)，则OA =（x,y ）；当向量起点不在原点时，向量AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1) 11. 向量a 和b 的数量积：①a ·b =| a |·|b |cos ，其中 ∈[0，π]为a 和b 的夹角。

②||cos 称为在的方向上的投影。

③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。

④若 =（1x ，1y ）, =（x 2，2y ）, 则2121y y x x b a •⑤运算律：a · b =b ·a , (λa )· b =a ·(λb )=λ（a ·b ）， （a +b ）·c =a ·c +b ·c 。

⑥a 和b 的夹角公式：cos =a ba b• rr r r ＝222221212121yx y x y y x x⑦ •2a a a |a |2=x 2+y 2，或|a|=22y x ⑧| a ·b |≤| a |·| b |。

)3,3(321321y y y x x x12.两个向量平行的充要条件：符号语言：若a ∥b ，a ≠0，则a =λb坐标语言为：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b (x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)，即 2121y y x x ，或x 1y 2-x 2y 1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当a 与b 同向时，λ>0；当a 与b 异向时，λ<0。

|λ|=|b ||a |，λ的大小由 a 及 b 的大小确定。

因此，当 a ，b 确定时，λ的符号与大小就确定了。

这就是实数乘向量中λ的几何意义。

13.两个向量垂直的充要条件：符号语言：a ⊥ba ·b =0坐标语言：设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ⊥b x 1x 2+y 1y 2=0例题讲解例1、如图， OA ， OB 为单位向量， OA 与OB 夹角为1200， OC 与OA 的夹角为450，| OC |=5，用 OA ， OB 表示OC 。

例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 坐标。

例3、求与向量 a =3(，-1）和 b =（1，3）夹角相等，且模为2的向量c 的坐标。

例4、在△OAB 的边OA 、OB 上分别取点M 、N ，使| OM |∶| OA |=1∶3，| ON |∶|OB |=1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记 OA = a ， OB = b ，用 a ， b 表示向量OP 。

例5、已知长方形ABCD ，AB=3，BC=2，E 为BC 中点，P 为AB 上一点 （1）利用向量知识判定点P 在什么位置时，∠PED=450； （2）若∠PED=450，求证：P 、D 、C 、E 四点共圆。

例6、直角坐标系xOy 中，i j r r，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若j k i AC j i AB3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4例7、如图，平面内有三个向量OA uu u r 、OB 、OC ,其中与OA uu u r与OB 的夹角为120°，OA uu u r 与OC 的夹角为30°,且|OA uu u r|＝|OB |＝1，|OC | ＝32，若OC ＝λOA uu u r+μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 .例8、设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（ ）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11例9、已知平面向量),2(),2,1(m b a ，且a ∥b ，则b a 32 =（ ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例10、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b r r 与a r垂直，则 是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2例11、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC , b BD ,则 AF （ ）A ．1142a b r rB. 2133a b r rC. 1124a b r rD. 1233a b r r例12、已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b r r ，则|5|a b r r．例13、已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x r r ,函数()21f x a b r r(1)求()f x 的最小正周期; (2)当[, ]62x时, 若()1,f x 求x 的值．点例14、已知向量a＝(cos23x ，sin 23x )，b ＝(2sin 2cos x x ， )，且x ∈[0，2]．（1）求b a（2）设函数b a x f )(+b a，求函数)(x f 的最值及相应的x 的值。