第二章 确定信号分析
确定信号: 信号仅是一个随时间变化，且其它参数都 是确知的，则这类信号称之为确定信号。
随机信号: 信号的全部或部分参量是不确定的或者 是随机的，则这类信号称之为随机信号。
分析方法： 对于确定信号常采用傅立叶变换分析信号的时域和频域表示； 对于随机信号常采用概率论和随机过程理论。 本章研究确定信号及其通过系统传输的特性。
⑷ 根据滤波器的截至频率不同，可以得到不同频率的信号。
如:
cos2
0t
1
cos 2
20t
若LPF(低通)的截至频率小于20，经LPF后，我们仅得到直流
分量, 若BPF(带通)的中心频率在 20 ，带宽 0，我们仅得
到2次谐波分量。
例：确定周期性矩形脉冲的傅立叶级数
1
Cn T1
T1 / 2 T1 / 2
f (t ) F (ω)
它们分别描述了信号在时间域和频率域的分布情况
傅立叶理论告诉我们：
(1) 一个信号不可能在时域和频域同时受限，一个时域受限的信 号，其频谱一定时无限的，同样，一个频域受限的信号，其时 域也将是无限的。
(2) 一个在时域锐截止的信号，其频域是无限且能量发散，即频 谱在第一个零点以外衰减相对较慢。一个在时域缓慢过渡的 信号，其频谱是无限的，但能量相对集中。
PT (t )e jn1tdt
1
T1
/ 2 e jn1t dt
/ 2
| 1
T1
e jn1t
jn1
2
2
T1
Sa( n1 )
2
第一个零点: 2
频谱间隔: 1
因此定义信号的零点带宽 B 2 (或 B 1 ) 也称主瓣带宽
这是因为信号的能量主要集中在第一个零点以内。
特别需要指出：信号的带宽仅指信号频谱的正频率部分； 负频率部分是数学分析带来的，实际并不存在。
注意带宽的定义！?
显然当 T1 ,1 0，
得到单个矩形脉冲的傅立叶变换：G
(t
)
Sa(
2
)
结论：周期信号的频谱时离散的，非周期信号的频谱时连续的。
非周期信号的傅立叶变换：
F (ω)
f (t )e jnωt dt
f (t)
1
F (ω)e jnωt dω
2π
信号 f (t) 与其频谱 F (ω) 之间是一一对应的：
T T / 2
T0
T0 / 2 T0 / 2
f
(t )e
jnωt dt
Cn*
所以：
1 P
T0
T0 / 2 T0 / 2
f
2 (t )dt
Cn
n
2
例：分别用时域和频域的方法，计算信号 s(t) 10sin 500t 的平均功率。
解： P 1 T / 2 f 2(t )dt 1 T / 2102 sin2 500tdt
同样，一个在频域锐截止的信号，其时域是无限的，即拖尾 很长，振幅较大。一个在频域缓慢过渡为零的信号，其时域是无 限的，但拖尾振幅较小。
以时域或频域门函数和三角函数加以说明：
G
(t
)
Sa( 2
)
T
(t)
Sa2 (2ຫໍສະໝຸດ )二、信号的能量谱与功率谱
1.能量信号和功率信号
电子学中，把信号归一化的能量定义为由电压 f (t) 加于单位
平均功率： P lim 1 T / 2 f 2(t)dt
T T T / 2
单位：瓦特 ，T为观察时间，即信号电压在单位电阻上所消耗 的平均功率或者说电流通过单位电阻所消耗的平均功率。
周期信号的平均功率: P 1 T0 / 2 f 2 (t )dt
T0 T0 / 2 根据能量信号和功率信号的定义可知，因为
E f 2(t)dt 1 F(ω) 2 dω
2π
信号的总能量等于各个频率分量单独贡献能量之和，而与各信号
的相位无关，即在时域或频域中，计算信号的能量是相等的。
证明： f 2(t)dt f (t)[ 1 F (ω)e jnωtdω]dt
2π
变换积分 1
F (ω)[ f (t )e jωtdt]dω
(T , lim 1 T / 2 f 2(t)dt 0)
T T T / 2 结论：能量信号的平均功率为 0 ，研究其功率无实际价值，
功率信号的能量为无穷大，研究其能量也无意义。
周期信号必是功率信号，但功率信号并不定都是周期信号。
2.帕什瓦尔定理
①如果 f (t) 是能量信号，且有 f (t) F(ω) ，则下式成立:
电阻(1Ω)上所消耗的能量，或者说由电流 f (t) 通过单位电阻
所消耗的能量： E f 2(t)dt
单位：焦耳
显然：信号能量的概念只有在上式所给出的积分值为有限时
才有意义，所以说能量有限的信号称为能量信号，一般来说对于
持续时间受限的波形都具有能量的意义；而对持续时间无限的信
号，能量的概念是无意义的，这类信号称为功率信号。
次序 2π
1
F (ω)F *(ω)dω 1
2
F (ω) dω
2π
2π
②
若
f
(t) 是周期性功率信号，且有
f
(t)
Cne jnω0t，ω0
n
2π T0
则有：
1 P
T0
T0 / 2 T0 / 2
f
2 (t )dt
Cn
n
2
结论：信号的平均功率等于各次谐波分量单独贡献的功率
之和，与各次谐波的相位无关。
§2.1 信号的频谱分析
一、 傅立叶级数和傅立叶变换
对于周期信号 f (t)，其三角函数和指数形式的傅立叶级数为：
f
(t)
a0 2
[an
n1
2 nt
cos( T0
)
bn
2 nt
sin( )] T0
A0 An cos(n0t n ) n1
三角函数形式
指数形式： f (t ) cne jn0t n
： 证明
1 P
T0
T0 / 2 f 2 (t )dt 1
T0 / 2
T0
T0 / 2 T0 / 2
f
(t
)[ Cne jnt ]dt
n
1
n
C
n
[ T0
T0 / 2 f (t )e jnω0t dt ]
T0 / 2
因：Cn
1 T0
T0 / 2 f (t )e jnωtdt
T0 / 2
故：1
1
Cn T0
T0 / 2 f (t )e jn0tdt, n=0, 1, 2
T0 / 2
⑴ f (t)是由直流分量及各次谐波分量组成，n＝1时,为一次谐波 (基波分量)。
⑵ 对于正弦信号 cos0t 或 sin0t ， 我们称为单频信号或单
音信号，通常使用的 cos0t ，称为正弦信号。
⑶ 除正弦信号外,其它信号的频谱都不是单一的频谱成分。