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2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)数学(理科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)理科数学试题★祝考试顺利★注意事项:1、考试范围:高考范围。

2、试题卷启封下发后,如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况,应当立马报告监考老师,否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后,如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象,应当马上报告监考老师,否则一切后果自负。

4、答题前,请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答:每个小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁,不折叠,不破损,不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后,请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(共有12小题,每小题5分,共60分,四个选项中只有一个是正确的.) 1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,4},{1,3,5}A B==,则()U A B =( ) A. {1}B. {3,5}C. {1,6}D. {1,3,5,6} 【答案】B【解析】分析:由全集U 及A ,求出补集U C A ,找出集合A 的补集与集合B 的交集即可.详解:{} 1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,2,4A =,{}3,5U A ∴=, 又{}(){}1,3,5,3,5U B A B =∴⋂=,故选B.点睛:研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质是求满足属于集合B 或不属于集合A 的元素的集合.2.已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位,则m 的值为( )A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式,再利用两个复数相等的条件,解方程组求得x 的值.【详解】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+, ∴22443m m +=⎧⎨-=⎩,即m 1= 故选A【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用,以及两个复数相等的条件,基本知识的考查. 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+与c 共线,则实数λ=( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由图像,根据向量的线性运算法则,可直接用,a b 表示出c ,进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得:2a b c +=,又c = a b λ+,所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算,熟记向量的线性运算法则,即可得出结果,属于基础题型.4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是( )A. 165B. 325C. 10D. 185【答案】C【解析】【分析】由条件可知8025200s =,计算结果. 【详解】设图中阴影部分的面积为s ,正方形的面积为25,则8025200s =, 解得:10s =故选:C【点睛】本题考查几何概型,属于简单题型.5.函数()f x 的定义域是R ,且满足()()0f x f x +-=,当0x ≥时,()21x f x x =+,则()f x 图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除B,C 选项,当0x ≥时,()21x f x x =+可知()0f x ≥,排除D 选项,即可求解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是R ,且满足()()0f x f x +-=,所以()f x 是奇函数,故函数图象关于原点成中心对称,排除选项B,C ,又当0x ≥时,()21x f x x =+, 可知()0f x ≥,故排除选项D,故选:A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,函数图象,属于中档题.6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、玉、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅、.癸酉,甲戌、乙亥、子、.癸未,甲申、乙酉、丙戌、癸巳,共得到60个组合,周而复始,循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年,那么2019年是“干支纪年法”中的( )A. 己亥年B. 戊戌年C. 庚子年D. 辛丑年【答案】A【解析】【分析】根据“干支纪年法”依次写出2011-2019年的“干支纪年”,得到结果.【详解】2011年是辛卯年,2012年是玉辰年,2013年是癸已年,2014年是甲午年,2015年是乙未年,2016年是丙申年,2017年是丁酉年,2018年是戊戌年,2019年是己亥年.故选:A【点睛】本题考查新定义,重点考查读懂题意,列举法,属于基础题型.7.若01a b <<<,则b a , a b , log b a , 1log a b 的大小关系为( ) A.1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b a b a b a >>> C.1log log b a b a a a b b >>> D. 1log log a b b aa b a b >>> 【答案】D【解析】因为01a b <<<,所以10a a b b a a >>>>,因为log log 1b b a b >>,01a <<,所以11a>,1log 0a b <. 综上1log log a b b a a b a b >>>;故选D. 8.已知一几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是两个直角边分别为2和1的全等三角形,则这个四面体最长的棱长为( )A. 5B. 3C. 2D. 23【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出如图的几何体,再求最长的棱长.【详解】由三视图可知,此几何体是三棱锥,如图,画出四面体ABCD ,由三视图可知,2AD DC ==,长方体的侧棱长为1,最长的棱是BD ,2222213BD =++=故选:B【点睛】本题考查由三视图还原几何体,重点考查空间想象能力,属于中档题型,一般由三视图还原几何体,根据“长对正,高平齐,宽相等”的原则还原,也可将几何体放在正方体或长方体中,找点作图.9.已知51x ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-40,则a 的值为( ) A. 2B. -2C. 2±D. 4 【答案】C【解析】【分析】 由题意可知51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含1x 项的系数是-40,利用二项式定理的通项公式求1x 的系数求a 的值. 【详解】由题意可知51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含1x 项的系数是-40, ()()555215511r r r r r r r r T C ax C a x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭, 当3r =时,()33213151T C a x -+=⋅-⋅,则21040a -=-,解得:2a =±.故选:C【点睛】本题考查二项式定理指定项系数,重点考查转化与化归的思想,属于基础题型.10.已知函数()()2sin 10f x x ωω=+>在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[]0,π上存在唯一的0x 使得0()3f x =,则ω的取值不可能为( )A. 23B. 14C. 34D. 1【答案】B【解析】【分析】 由已知函数在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,π上存在唯一的最大值,建立关于ω的不等式组,求解ω的范围,比较选项. 【详解】由题意可知225220ππωπωππω⎧⋅≤⎪⎪⎪≤⋅<⎨⎪>⎪⎪⎩,解得:112ω≤≤ 四个选项只有B 不成立.故选:B【点睛】本题考查三角函数的性质,重点考查最值,属于中档题型,本题的关键是考查端点值和最大值的比较.11.过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点F 的直线交两渐近线于E 、Q 两点,O 为坐标原点,OEQ △内切圆的半径为4a ,且0OE EQ ⋅=,则双曲线的离心率为( )A.B.C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】因为内切圆的圆心是三角形角平分线的交点,根据角平分线的性质,画出如图的图象,再结合焦点到渐近线的距离为b ,和数形结合分析出13b a =,再求离心率. 【详解】设内切圆的圆心为M ,则在EOQ ∠的角平分线上, 过点M 分别作MN OE ⊥于点N ,MT EQ ⊥于点T ,由FE OE ⊥,得四边形MNET 是正方形,由焦点到渐近线0bx ay -=的距离为d ,则22bc d b a b ==+,又OF c =, OE a ∴=,4a NE MN ==, 34a NO ∴=, 13b MN a ON ∴==, 221013c b a a ∴=+=故选:D【点睛】本题考查双曲线的几何性质和三角形内心的几何性质,重点考查转化与化归,数形结合分析问题的能力,属于中档题型,本题的关键是利用双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ,再根据勾股定理确定OE a =,再根据内切圆的几何性质确定几何关系.12.如图,在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则( )A. S 为定值,l 不为定值B. S 不为定值,l 为定值C. S 与l 均为定值D. S 与l 均不为定值【答案】B【解析】【分析】将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-,得到一个几何体V ,V 是以平行平面'A BD 和''B CD 为上下底,每个侧面都是直角等腰三角形,截面多边形的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行,设正方体棱长为a ,'''A K A B γ=,可求得六边形的周长为32a 与γ无关,即周长为定值;当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的中点时,ω是正六边形,计算可得面积233S a =,当ω无限趋近于'A BD 时,ω的面积无限趋近于23a ,从而可知ω的面积一定会发生变化. 【详解】设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形为ω,ω与正方体的棱的交点分别为I J N M L K 、、、、、(如下图), 将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-,得到一个几何体V ,V 是以平行平面'A BD 和''B CD 为上下底,每个侧面都是直角等腰三角形,截面多边形ω的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行,设正方体棱长为a ,'''A K AB γ=,则2IK B D a γγ''==,()()121KL A B a γγ=-'=-,故()2212IK KL a a a γγ+=+-=,同理可证明2LM MN NJ IJ a +=+=,故六边形ω的周长为32a ,即周长为定值;当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的中点时,ω是正六边形,计算可得面积221233362224S a a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,三角形'A BD 的面积为()2213322a a ⨯⨯=,当ω无限趋近于'A BD 时,ω的面积无限趋近于23a ,故ω的面积一定会发生变化,不为定值. 故答案为B.【点睛】本题考查了正方体的结构特征,考查了截面的周长及表面积,考查了学生的空间想象能力,属于难题.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(共20分.本大题共4小题,每小题5分)13.实数满足204040x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则2z x y =-的最小值是____【答案】-8【解析】【分析】首先画出可行域,然后平移直线,判断目标函数的最小值.【详解】如图,画出可行域,令0z =,作出初始目标函数:12y x =,当0y =时,x z =,即当直线的横截距最小时,2z x y =-取得最小值,由图象可知,当直线过点C 时,目标函数取得最小值, 204x y x -+=⎧⎨=⎩ ,解得4,6x y == ,即()4,6C , 即min 4268z =-⨯=-故答案为:-8【点睛】本题考查线性规划,重点考查数形结合分析问题的能力,属于基础题型.14.为响应中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,高二(1)班5名学生自发到3个农场参加劳动,确保每个农场至少有一人,则不同的分配方案有___种(用数字填写答案) 【答案】150 【解析】 【分析】根据条件分配方案先分成两类,一种是2,2,1,一种是1,1,3的分组分配,再按照组合排列求解.【详解】由题意可知,有两类分配方法,其中一种是3个农场有2个农场有2人,1个农场有1人,共有2235332290C C A A =种方法, 另外一种是3个农场有2个农场有1人,另外一个农场有3人,共有1135432260C C A A =种方法, 所以一共有90+60=150种方法. 故答案为:150【点睛】本题考查排列,组合,重点考查分组,分配,属于基础题型.15.设12,F F 分别是椭圆221167x y +=的左、右焦点,E 为椭圆上任一点,N 点的坐标为()5,1,则1||||EN EF +的最大值为_____【答案】8【解析】 【分析】首先利用椭圆的定义,转化()128EN EF EN EF +=+-,利用22EN EF NF -≤,结合数形结合分析距离和的最大值. 【详解】128EF EF +=()128EN EF EN EF ∴+=+-22EN EF NF -≤,如图,当2,,E F N 三点共线时,等号成立,所以2EN EF -的最大值是2F N ==即1||||EN EF +的最大值是8.故答案为:85【点睛】本题考查椭圆内距离的最大值,椭圆的定义,重点考查数形结合分析问题的能力,属于基础题型,本题的关键是利用椭圆的定义转化()128EN EF EN EF ∴+=+-,从而利用三点共线求最大值. 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足:1(1)n n n a S n n -=-+,1,2,,n n =,则2020S =____【答案】202020201120212S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】首先求首项,当2n ≥时,1n n n a S S -=-,再通过构造可得数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是等比数列,从而求得n S . 【详解】当1n =时,10S =, 当2n ≥时,1(1)n n n S a n n -+=+,11111212111n n n n n S S S S S n n n n n--⎛⎫+-=-=--=- ⎪+++⎝⎭ 111111111111222212n n nn n n S S S S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-=-=-=-⇒=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故202020201120212S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查数列已知n S 求n a ,重点考查转化与化归的思想,属于中档题型,本题的关键是证明数列11n S n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是等比数列.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共60分.17.如图,点A 在BCD 的外接圆上,且3sin 5A =,A 为锐角,5AD CD ==,35BD =.(1)求AB ;(2)求四边形ABCD 的面积. 【答案】(1)10;(2)18 【解析】 【分析】(1)ABD △中,利用余弦定理求AB ;(2)由(1)易求ABD △的面积,根据四点共圆,可知A BCD π∠+∠=,BCD 中利用正弦定理求sin DBC ∠,再来利用两角和的正弦公式求sin BDC ∠,最后求面积.【详解】解:(1)∵3sin 5A =,A 为锐角,∴4cos 5A =,在ABD △中由余弦定理得:2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅28200AB AB --=,得10AB =或2AB =-(舍去),∴10AB = (2)由(1)可知113sin 10515225ABD S AB AD A =⋅=⨯⨯⨯=△ ∵ABCD 四点共圆,∴A C π∠+∠=,∴3sin 5C =,4cos 5C =-,在BCD 中由正弦定理得:sin sin BD CD C DBC =∠,即3553sin 5DBC =∠,得5sin DBC ∠=25cos 5DBC ∠= sin sin(())sin()BDC DBC BCD DBC BCD π∴∠=-∠+∠=∠+∠=5425325555525⎛⎫-+=⎪⎝⎭ ∴1125sin 355322BCD S BD CD BDC =⨯⨯⨯∠=⨯=△∴四边形ABCD 面积15318S =+=【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形,重点考查推理计算能力,属于基础题型,本题的关键条件是四边形若有外接圆,则对角互补.18.已知四棱锥S ABCD -,SD SB =,在平行四边形ABCD 中,AD CD =,Q 为SC 上的点,过AQ 的平面分别交SB ,SD 于点E 、F ,且//BD 平面AEQF .(1)证明:EF SC ⊥;(2)若23SA SC ==2AB =,Q 为SC 的中点,SA 与平面ABCD 所成角的正弦值为32,求平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)12【解析】 【分析】(1)利用线面平行的性质可知//BD EF ,再后再根据条件证明BD ⊥平面SAC ,从而证明线线垂直; (2)如图,以O 为坐标原点,分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,利用两个平面法向量求二面角的余弦值.【详解】(1)证明:连结AC 交BD 于点O ,连结SO . ∵在平行四边形ABCD 中,AD CD =, ∴BD AC ⊥,且O 为AC 、BD 的中点, ∵SD SB =,∴SO BD ⊥, ∵ACSO O =,且,AC SO ⊂平面SAC ,∴BD ⊥平面SAC ,∵SC ⊂平面SAC ,∴BD SC ⊥, ∵//BD 平面AEQF ,且平面AEQF平面SBD EF =∴//BD EF , ∴EF SC ⊥(2)由(1)可知BD ⊥平面SAC ,故平面ABCD ⊥平面SAC ∵SA SC =,且O 为AC 的中点,∴SO AC ⊥ 又∵平面ABCD平面SAC AC =∴SO ⊥平面ABCD ,∴SA 与平面ABCD 所成角为SAO ∠ ∵SA 与平面ABCD 所成角的正弦值为32,且23SA =,∴3AO =3SO = 在Rt AOB 中,2AB =,由勾股定理得:1OB =如图,以O 为坐标原点,分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则:3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)A B C D S --,∵Q 为SC 的中点,∴3322Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则(0,2,0)BD =-,333,0,22AQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭易知,平面SBD 的一个法向量为()1,0,0m =设平面AEQF 的法向量为(),,n x y z =,因为//EF BD ,则:00n BD n AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2033302y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩, 令1x =,则:0y =,3z =AEQF 的一个法向量为(1,0,3n =∴||1cos ,||||213m n m n m n ⋅===+∴平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值为12【点睛】本题考查证明线线垂直,空间坐标法求二面角,重点考查推理证明,计算能力,属于中档题型. 19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,O 是坐标原点. (1)若直线l 过点F 且8AB =,求直线l 的方程;(2)已知点()2,0E -,若直线l 不与坐标轴垂直,且AEO BEO ∠=∠,证明:直线l 过定点. 【答案】(1)1y x =-或1y x =-+;(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)法一:分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论,当斜率存在时设直线方程为()1y k x =-与24y x =联立,利用弦长公式1228AB x x =++=求解;法二:设直线方程为1x my =+,方程联立后利用弦长公式求解;(2)设直线l 方程为()0x my b m =+≠与24y x =联立,由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =-,利用根与系数关系,得到直线过定点.【详解】解:(1)法一:焦点()1,0F ,当直线l 斜率不存在时,方程为1x =,与抛物线的交点坐标分别为()1,2,()1,2-,此时AB 4=,不符合题意,故直线的斜率存在.设直线l 方程为()1y k x =-与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=,当0k =时,方程只有一根,不符合题意,故0k ≠.()212222k x x k++=,抛物线的准线方程为1x =-,由抛物线的定义得()()()212222||||||1128k AB AF BF x x k+=+=+++=+=,解得1k =±,所以l 方程为1y x =-或1y x =-+法二:焦点()1,0F ,显然直线l 不平行于x 轴,设直线方程为1x my =+, 与24y x =联立得2440y my --=,设()11,A x y ,()22,B x y124y y m +=,124y y =-()2||41AB m ====+由8AB =,解得1m =±,所以l 方程为1y x =-或1y x =-+ (2)设()11,A x y ,()22,B x y ,设直线l 方程为()0x my b m =+≠与24y x =联立得2440y my b --=124y y m +=,124y y =-由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =-,即121222y yx x =-++ 整理得121122220y x y x y y +++=,即()()121122220y my b y my b y y +++++= 整理得()12122(2)0my y b y y +++= 即84(2) 0bm b m -++=,即2b = 故直线l 方程为2x my =+过定点()2,0【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的综合问题,涉及弦长,斜率求法,属于中档题型,题中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单,在解决圆锥曲线与动直线问题中,韦达定理,弦长公式都是解题的基本工具.20.某工厂改造一废弃的流水线M ,为评估流水线M 的性能,连续两天从流水线M 生产零件上随机各抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:记抽取的零件直径为X . 第一天第二天经计算,第一天样本的平均值165μ=,标准差1 2.2.σ=第二天样本的平均值265μ=,标准差2 2.σ= (1)现以两天抽取的零件来评判流水线M 的性能.(i )计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ(精确到0.01);(ii )现以频率值作为概率的估计值,根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率),①()0.6826P X μσμσ-<≤+≥;②()2 20.9544P X μσμσ-<≤+≥;③()330.9974P X μσμσ-<≤+≥评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为优;仅满足其中两个,则等级为良;若仅满足其中一个,则等级为合格;若全部不满足,则等级为不合格,试判断流水线M 的性能等级.(2)将直径X 在(]2,2μσμσ-+范围内的零件认定为一等品,在(]3,3μσμσ-+范围以外的零件认定为次品,其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个,设ξ为抽到次品的件数,求ξ分布列及其期望.2.102≈6.648≈21.024≈;参考公式:标准差σ=【答案】(1)(i )65μ=, 2.10σ≈;(ii )合格;(2)分布列见解析,811【解析】 【分析】(1)(ⅰ)因为两天100个零件的平均值都是65,所以200个零件的平均值也是65,按照公式计算标准差σ;(ⅱ)分别计算3σ的概率,然后比较等级;(2)由(ⅱ)可知200件零件中合格品7个,次品4个,ξ的可能取值为0,1,2,利用超几何分布计算概率,并求分布列和数学期望.【详解】(1)(i )依题意:200个零件的直径平均值为65μ=由标准差公式得:第一天:()100221165100484i i X σ=-==∑,第二天:()100222165100400i i X σ=-==∑,则()2002211165(484400) 4.42200200ii X σ==-=+=∑故 2.10σ=≈(注:如果写出1(2.202) 2.102σ=+=不给分) (ii )由(1)可知:164()(62.967.1)0.820.6826200P X P X μσμσ-<≤+=<≤==≥, 189(22)(60.869.2)0.9450.9544200P X P X μσμσ-<≤+=<≤==<,196(33)(58.771.3)0.980.9974200P X P X μσμσ-<≤+=<<==<仅满足一个不等式,判断流水线M 的等级为合格.(2)可知200件零件中合格品7个,次品4个,ξ的可能取值为0,1,2,则2721121(0)55C P C ξ===,117421128(1)55C C P C ξ===,242116(2)55C P C ξ===,ξ的分布列则21286801255555511E ξ=⋅+⋅+⋅= 【点睛】本题考查样本期望,方差的计算,3σ原则的应用,以及超几何分布列的计算,重点考查数据的分析和应用,属于中档题型,本题的关键是读懂题意.21.已知函数2()2ln f x x ax =-,()(1)34x g x x e ax =++-,a R ∈. (1)求()f x 的单调区间;(2)若()f x 有最大值且最大值是1-,求证:()()f x g x <. 【答案】(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)对()f x 求导,得()221()ax f x x-'=,对a 分类讨论,利用导函数的正负性即可得出单调性;(2)利用(1)中结论及()f x 最大值是1-,可得1a =,对()()f x g x <进行整理,可得232ln 14x x x x e x -<+-+,由0x >时,e 1x>可知,证明232114ln x x x x -+-+≤即可,构造函数()2432ln h x x x x =--+,利用导数可得()()0h x h x ≤()002ln 1x x =-+,再构造()ln 1m x x x =-+,利用导数可得()(1)0m x m ≤=,所以()()00h x h x ≤≤,问题得解. 【详解】(1)由函数2()2ln f x x ax =-,0x >得()2212()2ax f x ax x x-'=-= 1)当0a ≤时,()0f x '>,函数()f x 在()0∞,+上单调递增; 2)当0a >时,由()f x '=当0x <<时()0f x '>,当x >()0f x '< 故()fx 0⎛ ⎝上单调递增,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.(2)证明:由(1)知,当0a >时,函数()f x 有唯一最大值,即l 1n 1f a --=-,解得=1a . 22ln ()(3)14x x x f x g x e x x -++-<⇔<0x >时e 1x >, 所以证明23ln 1142x x x x -≤⇔+-+ 242ln 30x x x -+≤-即可, 令()()2432ln 0+h x x x x x =-+∈-∞,, ()()()()2211221224x x x x h x x x x x-+-+-'=--==可知,当01x -时函数()h x 取得极大值即最大值,且200210x x +-= ()()2000000=2ln 432ln 1h x x x x x x --+=-+设()ln 1m x x x =-+,则11()1x m x x x-'=-= 所以()m x 在01,上单调递增,[)1+∞,上单调递减, 故()(1)0m x m ≤=,所以()()0002ln 10h x x x =-+≤所以()()00h x h x ≤≤,即242ln 30x x x -+≤-问题得解.【点睛】本题是导数的综合应用题,考查了利用导数求函数单调性及利用导数求最值证明不等式,考查了分类讨论思想和放缩法,属于难题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点A的极坐标为4π⎫⎪⎭,直线l的极坐标方程为sin()42πρθ+= (1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;(2)若B 是曲线C 上的动点,G 为线段AB 的中点.求点G 到直线l 的距离的最大值.【答案】(1)l :10x y +-=,C :2213x y +=;(2)2【解析】【分析】(1)利用22sin cos 1αα+=消参得到曲线C 的普通方程,以及利用两角和的正弦公式展开,利用cos ,sin x y ρθρθ==求直线的直角坐标方程;(2)利用参数方程设),sin ,[0,2)B αααπ∈,则1sin 1,22G θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭,利用点到直线的距离,转化为三角函数求最值.【详解】(1)∵直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即sin cos 10ρθρθ+-=. 由cos x ρθ=,sin y ρθ=,可得直线l 的直角坐标方程为10x y +-=.将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α,得曲线C 的普通方程为2213x y +=. (2)设),sin ,[0,2)B αααπ∈.点A的极坐标4π⎫⎪⎭化为直角坐标为()1,1则sin 12G θ⎫+⎪⎪⎝⎭. ∴点G 到直线l距离3d πθ⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭. 当sin 13πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭时,等号成立点. ∴点G 到直线l的距离的最大值为2 【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程,直角坐标方程的互化,以及参数方程的应用,属于基础题型,本题第二问的关键是利用椭圆的参数方程设点G 的坐标,转化为三角函数求最值.23.已知函数()21f x x a x =-++,()2g x x =+.(1)当2a =时,求不等式()1f x <的解集;(2)若[0,1]x ∀∈,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数a 的取值.【答案】(1)空集;(2)1【解析】【分析】(1)不等式转化为22110x x -++-<,利用零点分段,去绝对值,写成分段函数的形式,利用函数的单调性求函数的值域,同时求出不等式的解集;(2)当[]0,1x ∈,去绝对值,转化为21x a -≤对[]0,1x ∀∈恒成立,再去绝对值求a 的取值范围.【详解】解:(1)当2a =时,不等式()1f x <化为22110x x -++-<,设函数2211x x y -++-=,3,12,1132,1x x y x x x x -<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩,由函数图象可知当1x =时,函数取得最小值1,所以1y ≥∴原不等式解集为空集(2)当[]0,1x ∈,不等式()()f x g x ≤恒成立,即21x a -≤对[]0,1x ∀∈恒成立,由2121x ax a-≤⎧⎨-≥-⎩得2121a xa x≥-⎧⎨≤+⎩对[]0,1x∀∈恒成立得11 aa≥⎧⎨≤⎩故a的取值为1【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法,以及恒成立求参数的取值范围,重点考查计算能力,属于基础题型.。

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