数学建模部分课后习题解答中国地质大学 能源学院 华文静1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。

这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。

因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。

因此，只需引入两个距离函数即可。

考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。

因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为)(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。

模型求解 如果0)0()0(==g f ，那么结论成立。

如果)0(与)0(g f 不同时为零，不妨设.0)0(,0)0(=>g f 这时，将长方形ABCD 绕点O 逆时针旋转角度π后，点A,B 分别于与C ，D 互换，但长方形ABCD 在地面上所处的位置不变，由此可知，f （π）＝g （0），g （π）＝f （0）.而由f （0）＞0，g （0）＝0，得g （π）＞0，f （π）＝0。

令h （θ）＝f(θ)－g （θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又0)()()(,0)0()0()0(<-=>-=πππg f h g f h ，根据连续函数介值定理，必存在），，0（0πθ∈使得)()(即,0)(000θθθg f h ==；又因为0)()(所以,0)()(0000===•θθθθg f g f 。

于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。

模型讨论用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河？模型假设人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

符号说明1X ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0;2X ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； 3X ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； 4X ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；),,,(4321X X X X S k =:状态向量，代表时刻K 左岸的状态； ),,,(4321X X X X D k =:决策向量，代表时刻K 船上的状态；模型建立限制条件：⎩⎨⎧≠+≠+⇒=22043321X X X X X初始状态：)0，0，0，0(),1，1，1，1(00==D S 模型求解根据乘法原理，四维向量）,,,（4321X X X X 共有1624=种情况根据限制条件可以排除）1,1,0,0）（1，0,1，0）（1,1,1,0（三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知可行决策集仅有五个元素{})0，0,，0，0(),0，0，0，1(),1，0，0，1(),0，1，0，1(),0，1，1，1(=D ,状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)；目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由）0,0,0,0（）1,1,1,1（→3. 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的Q 值方法.（3）d ’Hondt 方法： 将各宿舍的人数用正整数,2,1=n ,3相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A ，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 解：先考虑N=10的分配方案，∑=====313211000,432,333,235i i p p p p方法一（按比例分配）4,33.3,35.2332211======N p q N p q N p q分配结果为：4,3,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4,3,3321===n n n第10个席位：计算Q 值为92407543333，920417322352221=⨯==⨯=Q Q 933125443223=⨯=QQ3最大，第10个席位应给C.分配结果为5,3,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法）原理：记pi 和ni 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）,iin p 是每席位代表的人数，取i n =3,2,1…，从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的i ，ii n p尽量接近。

所以此方法的分配结果为：5,3,2321===n n n再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果。

现将3中方法两次分配额结果乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析，再用数据确定参数。

模型分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。

所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。

模型假设（1） 设鱼的重量为ω； （2） 鱼的身长记为l ； 模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量ω与身长l 的立方成正比，为这两者之间的比例系数。

即131,k k νω=为比例系数。

不过常钓得较肥的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是222,k l d k =ω为比例系数。

利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：,0322.0,0146.021==k k 将实际数据与模型结果比较如下表：通过机理分析，基本上满意 5.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

解：动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，记动物体重为，则P S P αω,3/2-∝∝正比于血流量Q ,而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。

合理地假设q 与ω成正比，于是rq ω∝，综上可得3/13/1或,-=∝ωωk r r 。

由所给数据估计得310897.20⨯=k ，将实际数据与模型6. 速度为v 的风吹在迎风面积s 为的风车上，空气密度是ρ。

用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v ，s ，ρ的关系。

解：模型分析 设0),,,(的关系为，，，=ρνρνs P f s P ，其量纲表达式为：,][,][,][,][32132---====ML L s LT T ML P ρν这里T M L ,,是基本量纲模型求解量纲矩阵为：)()()()(001310013212ρνs P T LM A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+=-++=021414321300322y y y y y y y y它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得1131131,ρλνρνπs P s P ==-，其中λ是无量纲常数7. 雨速的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。

用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

解：模型分析设g ,，，μρν的关系为0)g ，，，v (=μρf .其量纲表达式为：，]g [，)(]μ[，]ρ[,][2-01122211120310T LM MT L T T MLL L L LT MLT MT L T LM v ======-----------其中T L M ,,是基本量纲模型求解量纲矩阵为（ｇ））（)()( 210101101131μρνT LMA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=齐次线性方程组即,0=Ay⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--02003431324321y y y y y y y y y 的基本解为)1,1,1,3(--=y 由量纲i P 定理得ρμλνμρνπgg 313所以.==--其中λ是无量纲数 8. 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。