第5章
机械振动
一、什么是振动
从狭义上说，物体在一定位 置附近所作的往复运动称为 振动。 从广义上说，任何一个物理 量在某一数值附近作周期性 的变化，都称为振动。
二、什么是机械振动
机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性 往复的运动。
三、研究机械振动的意义
•不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量 随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不 同的振动有相同的描述方法。
dt
a
d2x dt 2
2 Acos(
t
)
二、单摆——数学摆
1、概念
单摆是一个理想化的振 动系统：它是由一根无 弹性的轻绳挂一个质点 构成的。若把质点从平 衡位置略为移开，那么 质点就在重力的作用下， 在竖直平面内来回摆动。
摆锤——重物 摆线——细绳 平衡位置——O点
2、运动方程
M mgl sin mgl
•单摆可以当作计时器
复摆
实际发生的振动问题并不象弹簧振子那么简单， 大多数比较复杂；例如
（1）回复力不一定是弹性力，而是重力，浮 力等其它性质的力； （2）合外力可能是非线性力，只有在一定的 条件下，才能近似当作线性回复力。
此时研究问题的方法一般为：根据问题的性质， 突出主要因素，建立合理的物理模型，使计算简 化。下面讨论两个实际振动问题的近似处理：单 摆与复摆。
正方向。
f －kx
力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位 置的，称为回复力。
f －kx
f
m
d2 dt
x
2
d2 x k x dt2 m
令
2＝ k
m
d2 dt
x
2
＋
2
x＝0
a 2 x
简谐运动 微分方程
4、弹簧振子的运动学方程 x Acos( t )
v dx Asin( t )
转动定律 －mgl＝I＝Idd2t2
d 2
dt 2
＋
2＝0
f
运动学方程
0 cos(t )
mg
单摆的圆频率2 gl源自gl周期 频率
T＝2 l
g
1＝ 1 g T 2 l
3、说明：
•单摆的合外力与弹性力类似，但本 质不同，称为准弹性力 •单摆的周期与单摆的质量无关
•单摆提供了一种测量重力加速度的 简便装置
2、弹簧振子运动 的定性分析
B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；
O→C：
向左，
向左，减速；
C→O：
向左，
向左，加速；
O→B：
向右， 向右，减速。
物体在B、C之间来回往复运动
物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
3、弹簧振子的动力学特征
x
取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为x轴的
dt
是什么？
•研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的 振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。
5－1 弹簧振子和单摆的运动方程
一、弹簧振子的动力学方程 1、弹簧振子
质量可略去不计的弹簧一端固定，另一端连一质量m为的物
体(视为质点)，置于光滑水平面上，若该系统在运动过程中， 弹簧的形变较小(即形变弹簧对物体的作用力总是满足胡克 定律)，则该系统称为弹簧振子。
复摆——物理摆 1、概念
2、运动方程
重力矩 M＝－mglsin －mgl
转动定律
－mgl＝J＝J
d 2
dt 2
2 mgl
J
d 2
dt 2
＋
2＝0
3、周期与频率
T＝2 J
mgl
mgl
J
4、应用 •测重力加速度 •测转动惯量
d 2
dt 2
＋
2＝0
0 cos(t )
问题
d
—— 角速度