2.1.2 解析法
1、直接投影法
Fx Fy
F F
i F cos
j
F
cos
Fz F k F cos
2、二次投影法
Fx Fy
F cos cos F cos sin
Fz F sin
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
已知力F在直角坐标轴上的三个投影，其 大小和方向分别为
F Fx2 Fy2 Fz2
Fe F e 直角坐标系Oxyz的单位矢量为i、j、k，力F在各轴上投影
Fx Fy
F F
i F cos
j
F
cos
Fz F k F cos
在直角坐标系中力F 的
Theoretical Mechanics
F = Fx i + Fy j + Fz k
2.1 汇交力系的合成
力在直角坐标 轴上的投影：
4.1.1 力的平移定理
FRx FRxi FRy j FRzk ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k 0
得
Fix Fiy
0 0
即为汇交力系的平衡方程。
Fiz 0
Fix 0
特例：平面汇交力系平衡方程 Fiy 0
2.2 汇交力系的平衡
例题
例2-2：求图示平面刚架的支反力。 P
解Ⅰ：几何法
已知P=1000N，CE=ED=12cm，
EA=24cm， 45 ，不计杆重；求绳索 的拉力和杆所受的力。
D E
C
B
A
P
解：以铰A为研究对象，受力如图，
z
建立如图坐标。
E D FTD A
Fx 0: FTC sin FTD sin 0
C
FTCx
y
Fy 0:FTC cos FTD cos S sin 0
F3z F3 sin 30 150N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构 成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
n
即
FR Fi 0
i1
2.2 汇交力系的平衡
2.2.2 解析法
汇交力系的平衡方程：
由汇交力系平衡的几何法知：汇交力系平衡的充 要条件是力系的合力等于零。即：
以刚架为研究对象，受力如图。 由于刚架受三力平衡，所以力三
4m
A
B
8m
P
角形封闭。
由几何关系，
FA
FNB
A B
P
sin 5 , cos 2 5
5
5
FA
FNB
解得
FA
P
cos
5 2
P, FNB
P cot
1 2
P
2.2 汇交力系的平衡
例题
P
解Ⅱ：解析法
以刚架为研究对象，受力如图， 建立如图坐标。
2.1.1 几何法
结论 汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系
中各力的矢量和，其作用线通过各力的汇交点
•合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关 •各分力矢必须首尾相接 •合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端 •按力的比例尺准确地画各力的大小和方向
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量的标量积
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
合力投影定理: 汇交力系的合力在某轴上的投
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
n
由汇交力系合成的几何法知：
FR Fi
i1
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRzk 代入上式，得
Fi Fix i Fiy j Fiz k
第二章 力系的简化
2.1 汇交力系的合成
F2
2.1.1 几何法
F3
F1
F4
2.1 汇交力系的合成 用力多边形法则求四个力的合力
2.1.1 几何法
FR F4
FR2
F3
FR1 F2
F1
使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。
Theoretical Mechanics
2.1 汇交力系的合成
2.1.1 几何法
F1x 0, F1y 0, F1z F1 100 N
力F2在各坐标轴上的投影：
F2x F2 cos 60 100 N F2 y F2 cos30 100 3N F2z 0N
F3x F3 cos30sin 45 75 6N
力F3在各坐标轴上的投影： F3y F3 cos30cos45 75 6N
FRxi FRy j FRzk ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
由矢量相等的概念有
FRx FRy
Fix Fiy
FRz
Fiz
2.1 汇交力系的合成
例题
例2-1 图中a = b = 3 m， c = 2 m。力F1 = 100N，F2 = 200N， F3 = 300N，方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。 解：力F1在各坐标轴上的投影：
设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1、2、…、n）组成。记 为F1、F2、…、Fn。根据平行四边形法则，将各力依次两两 合成，FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量 表达式为
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的
矢量和确定，作用线通过汇交点。
2.1 汇交力系的合成
cos Fx , cos Fy , cos Fz
F
F
F
2.1 汇交力系的合成
2.1.2 解析法
将力F 沿直角坐标轴方向分解
F = Fx + Fy + Fz 力F沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有如下关系
Fx = Fx i,，Fy = Fy j，Fz = Fz k
值得注意:以上各式是在直角坐标系中推导的，在 非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一个 重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由几 何运算转换为代数运算。
4m
A
B
8m
Fx 0 : FA cos P 0
P
Fy 0 : FA sin FNB 0
由几何关系 sin 5 , cos 2 5
5
5
A ByBiblioteka FAFNBx
解得
5
1
FA 2 P, FNB 2 P
2.2 汇交力系的平衡
例题
例2-３： 重为P的物体用杆AB和位于同 一水平面的绳索AC与AD支承，如图。
S
Fz 0:S cos P 0
P
B
由几何关系：cos 24 2
12 2 24 2 5
解得： S 1414N FTC FTD 559 N
4.1 平面任意力系的简化
力的平移定理
4.1.1 力的平移定理
FR
FR
FR
FR
(FR )O (FR , FR)
M
FR + M
4.1 平面任意力系的简化