11.1 与三角形有关线段11.1.1 三角形边01基础题知识点1三角形概念1.一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，其中符合三角形概念是(D)2.如图所示，∠BAC对边是(C)A.BDB.DCC.BCD.AD3.如图所示.(1)图中共有多少个三角形？(2)写出其中以EC为边三角形；(3)若有一个公共角两个三角形称为一对“共角三角形”，则以∠B为公共角“共角三角形”有哪些？解：(1)图中共有5个三角形.(2)△ACE，△DCE，△BCE.(3)△DBE与△CBE，△CBA与△CBE，△DBE与△CBA.知识点2三角形分类4.下列关于三角形按边分类图示中，正确是(D)5.下列说法正确是(B)A.所有等腰三角形都是锐角三角形B.等边三角形属于等腰三角形C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形三角形D.一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形6.如图，图中三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(D)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能知识点3三角形三边关系7.已知a，b，c是三角形三边长，则下列不等式中不成立是(B)A.a＋b＞cB.a－b＞cC.b－c＜aD.b＋c＞a8.(岳阳中考)下列长度三根小木棒能构成三角形是(D)A.2 cm，3 cm，5 cmB.7 cm，4 cm，2 cmC.3 cm，4 cm，8 cmD.3 cm，3 cm，4 cm9.(崇左中考)如果一个三角形两边长分别为2和5，那么第三边长可能是(C)A.2B.3C.5D.810.(怀化中考改编)等腰三角形两边长分别为4 cm和8 cm，求它周长.解：若4 cm边长为腰，8 cm边长为底，4＋4＝8，由三角形三边关系知，该等腰三角形不存在；若8 cm边长为腰，4 cm边长为底，则满足三角形三边关系，且等腰三角形周长为：8＋8＋4＝20(cm).02中档题11.如图，图中三角形个数是(C)A.3B.4C.5D.612.下列长度三条线段能组成三角形是(A)A.5，6，10B.5，6，11C.3，4，8D.4a，4a，8a(a＞0)13.已知三角形两边长为6和8，则第三边长x取值范围是(C)A.x>2B.x<14C.2<x<14D.2≤x≤1414.有四条线段，长分别为3 cm.5 cm.7 cm.9 cm，如果用这些线段组成三角形，可以组成3个三角形.15.已知三角形两边长分别为2 cm和7 cm，最大边长为a cm，则a取值范围是7≤a＜9.16.(大庆中考)如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图形②，再连接图②中间小三角形三边中点得到图③，按这样方法进行下去，第n个图形中共有三角形个数为(4n－3).17.(教材P3例题改编)用一条长为25 cm绳子围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长2倍，那么三角形各边长是多少？(2)能围成有一边长是6 cm等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据题意，得2x＋2x＋x＝25.解得x＝5.∴三角形三边长分别为：10 cm，10 cm，5 cm.(2)若长为6 cm边是腰，则底边长为：25－6×2＝13 cm.∵6＋6<13，∴不能围成三角形，即长为6 cm边不能为腰长；若长为6 cm边是底边，则腰长为：(25－6)÷2＝9.5，满足三角形三边关系.综上所述，能围成底边长是6 cm等腰三角形，且三角形三边长分别为9.5 cm，9.5 cm，6 cm.18.已知a，b，c是△ABC三边长.(1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC形状；(2)若a，b，c满足(a－b)(b－c)＝0，试判断△ABC形状；(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.解：(1)∵|a－b|＋|b－c|＝0，∴a－b＝0且b－c＝0.∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.(2)∵(a －b)(b －c)＝0，∴a －b ＝0或b －c ＝0.∴a ＝b 或b ＝c.∴△ABC 为等腰三角形.(3)∵a ，b ，c 是△ABC 三边长，∴a －b －c ＜0，b －c －a ＜0，c －a －b ＜0.∴原式＝－a ＋b ＋c －b ＋c ＋a －c ＋a ＋b＝a ＋b ＋c.03 综合题19.已知等腰三角形周长为20 cm ，设腰长为x cm .(1)用含x 代数式表示底边长；(2)腰长x 能否为5 cm ，为什么？(3)求x 范围.解：(1)底边长为(20－2x) cm .(2)若腰长为5 cm ，则底边长为20－2×5＝10(cm ).∵5＋5＝10，不满足三角形三边关系，∴腰长不能为5 cm .(3)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，20－2x>0.解得0<x<10. 由三角形三边关系，得x ＋x>20－2x.解得x>5.综上所述，x 范围是5<x<10.11.1.2 三角形高.中线与角平分线11.1.3 三角形稳定性01 基础题知识点1 三角形高1.如果一个三角形两边上高交点在三角形内部，那么这个三角形是(A )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形2.如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高三角形有6个.3.如图，△ABC中，∠C＝90°.(1)指出图中BC，AC边上高；(2)画出AB边上高CD；(3)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上高CD长.解：(1)BC边上高是AC，AC边上高是BC.(2)如图所示.(3)∵S△ABC＝12A C·BC＝12AB·CD，∴3×4＝5CD.∴CD＝2.4.知识点2三角形中线4.如图，D.E分别是△ABC边AC.BC中点，那么下列说法中不正确是(D)A.DE是△BCD中线B.BD是△ABC中线C.AD＝DC，BE＝ECD.AD＝EC，DC＝BE5.三角形一边上中线把原三角形一定分成两个(B)A.形状相同三角形B.面积相等三角形C.直角三角形D.周长相等三角形6.三角形三条中线相交于一点，这个点一定在三角形内部，这个点叫做三角形重心.7.如图，AD是△ABC一条中线，若BD＝3，则BC＝6.知识点3三角形角平分线8.如图所示，AD是△ABC角平分线，AE是△ABD角平分线.若∠BAC ＝80°，则∠EAD度数是(A)A.20°B.30°C.45°D.60°9.如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确有(C)①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC.A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC角平分线.证明：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD.∴AD是△ABC角平分线.知识点4三角形稳定性11.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做根据是(C)A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.三角形具有稳定性D.长方形四个角都是直角12.如图所示是一幅电动伸缩门图片，电动门能伸缩几何原理是四边形不稳定性.02中档题13.下列有关三角形说法：①中线.角平分线.高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内.其中正确是(B)A.①②B.①③C.②④D.③④14.如图，在△ABC中，AB＝5厘米，BC＝3厘米，BM为中线，则△ABM与△BCM周长之差是2厘米.15.如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条.16.(原创题)如图是甲.乙.丙三位同学折纸示意图，你能分析出他们各自折纸意图吗？简述你判断理由.解：甲折出是BC边上高AD，由图可知∠ADC＝∠ADC′，∴∠ADC＝90°，即AD为BC边上高.乙折出是∠BAC平分线AD，由图可知∠CAD＝∠C′AD，即AD平分∠BAC.丙折出是BC边上中线AD，由图可知CD＝BD，∴AD是BC边上中线.17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC＝12，AC＝8，AD＝6，BE长为多少？解：∵S △ABC ＝12BC·AD＝12×12×6＝36， 又∵S △ABC ＝12AC·BE， ∴12×8×BE ＝36，即BE ＝9. 18.如图，AD 是∠CAB 平分线，DE ∥AB ，DF ∥AC ，EF 交AD 于点O.请问：DO 是∠EDF 平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解：DO 是∠EDF 平分线.证明：∵AD 是∠CAB 平分线，∴∠EAD ＝∠FAD.∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴∠EDA ＝∠FAD ，∠FDA ＝∠EAD.∴∠EDA ＝∠FDA ，即DO 是∠EDF 平分线.19.如图，网格小正方形边长都为1，在△ABC 中，标出三角形重心位置，并猜想重心将中线分成两段线段之间关系.解：如图所示，AB 与AC 两边中线交点D 即为重心.重心将每条中线分成1∶2两部分，BD ＝2ED ，CD ＝2DF.03 综合题20.(娄底中考改编)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B.C 不重合)，作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，在D 点运动过程中，试判断BE ＋CF 值是否发生改变？解：由S △ABC ＝S △ACD ＋S △ABD ，得 12AB·BC＝12AD·CF＋12AD·BE＝12AD·(CF＋BE). ∵△ABC 面积不变，且点D 由点B 运动到点C ，AD 长度逐渐变大， ∴BE ＋CF 值逐渐减小.11.2.2 三角形外角01 基础题知识点1 认识外角1.如图所示，∠ACD 是△ABC 一个外角.2.如图，以∠AOD 为外角三角形是△AOB 和△COD .知识点2 三角形内角和定理推论 3.若三角形一个外角等于和它相邻内角，则这个三角形是(B )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能4.如图，在△ABC中，点D在CB延长线上，∠A＝70°，∠ABD ＝120°，则∠C等于(B)A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝110°.6.已知△ABC三个内角度数之比是1∶2∶3，则三个外角对应度数之比是5∶4∶3.7.求出图中x值.解：由图知x＋80＝x＋(x＋20).解得x＝60.知识点3三角形内角和定理推论与平行线性质.三角形角平分线8.(红河中考)如图，AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B度数为(C)A.60°B.65°C.70°D.75°9.(昆明中考)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD 平分∠ABC，则∠BDC度数是(A)A.85°B.80°C.75°D.70°10.(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝80度.02中档题11.(内江中考)将一副直角三角板如图放置，使含30°角三角板直角边和含45°角三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1度数为(A)A.75°B.65°C.45°D.30°12.(乐山中考改编)如图，CE是△ABC外角∠ACD平分线，若∠B ＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝85°.13.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝60°，则∠2＝150°.14.如图，∠α＝125°，∠1＝50°，则∠β度数是105°.15.如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°.(1)求∠B度数；(2)若∠D＝42°，求∠AFE度数.解：(1)∵∠ACD是△ABC一个外角，∠A＝35°，∠ACD＝83°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝48°.(2)∵∠AFE是△BDF一个外角，∠B＝48°，∠D＝42°，∴∠AFD＝∠B＋∠D＝48°＋42°＝90°.11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形01基础题知识点1多边形及其相关概念1.下面图形是多边形是(D)A B C D2.若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是(A)A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形3.从n边形一个顶点出发作对角线，可以把这个n边形分成9个三角形，则n等于(C)A.9B.10C.11D.124.画出下列多边形所有对角线.解：如图所示.知识点2正多边形5.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形.其中正确个数为(B)A.1B.2C.3D.46.一个正多边形周长是100，边长为10，则正多边形边数n＝10.02中档题7.过多边形一个顶点可以引2017条对角线，则这个多边形边数是(D)A.2017B.2018C.2019D.20208.如图，把边长为12等边三角形纸板剪去三个小等边三角形，得到正六边形，则剪去小等边三角形边长为(D)A.1B.2C.3D.49.如图所示，将多边形分割成三角形，图1中可分割出2个三角形；图2中可分割出3个三角形；图3中可分割出4个三角形，由此你能猜测出，n边形可以分割出(n－1)个三角形.10.若过n边形一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k 边形有k条对角线，则(n－k)m＝12.11.一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能图形.解：不一定，如图所示：03综合题12.(1)如图1，O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？(2)如图2，点O在五边形ABCDEAB边上，连接OC，OD，OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？(3)如图3，过点A作六边形ABCDEF对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？解：(1)4个，与边数相等.(2)4个，三角形个数等于边数减1.(3)4个，三角形个数等于边数减2.11.3.2 多边形内角和01基础题知识点1多边形内角和公式1.一个六边形内角和等于(D)A.180°B.360°C.540°D.720°2.(北京中考)内角和为540°多边形是(C)3.在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B度数为(A)A.80°B.90°C.170°D.20°4.(衡阳中考)正多边形一个内角是150°，则这个正多边形边数为(C)A.10B.11C.12D.135.求如图所示图形中x值：解：(1)根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50.(2)根据图形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65.(3)根据图形可知：x ＋x ＋30＋60＋x ＋x －10＝(5－2)×180.解得x ＝115.6.已知两个多边形内角和之和为1 800°，且两多边形边数之比为2∶5，求这两个多边形边数.解：设两多边形边数分别为2n 和5n ，则它们内角和分别为(2n －2)×180°和(5n －2)×180°， 则(2n －2)×180°＋(5n －2)×180°＝1 800°，解得n ＝2.2n ＝4，5n ＝10.答：这两个多边形边数分别为4，10.知识点2 多边形外角和7.(泉州中考)七边形外角和为(B )A .180°B .360°C .900°D .1 260°8.(来宾中考)如果一个正多边形一个外角为30°，那么这个正多边形边数是(C )A .6B .11C .12D .189.(南通中考)若一个多边形外角和与它内角和相等，则这个多边形是(B )A .三角形B .四边形C .五边形D .六边形10.将一个n 边形变成n ＋1边形，其内角和增加180°，外角和不变.11.若一个多边形每个外角都等于与它相邻内角12，求这个多边形边数.解：设这个多边形边数为n ，由题意，得(n －2)×180°＝2×360°.解得n ＝6.所以这个多边形边数为6.02中档题12.不能作为正多边形内角度数是(D)A.120°B.108°C.144°D.145°13.(广安中考)若一个正n边形每个内角为144°，则这个正n 边形所有对角线条数是(C)A.7B.10C.35D.7014.(毕节中考)如图，一个多边形纸片按图示剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°新多边形，则原多边形边数为(B)A.13B.14C.15D.1615.(十堰中考)如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走路程是(B)A.140米B.150米C.160米D.240米16.(益阳中考)将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形内角和之和不可能是(D)A.360°B.540°C.720°D.900°17.(安徽中考)如图，正六边形ABCDEF，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N，则∠MPN＝60°.18.(河北中考)如图，在同一平面上，将边长相等正三角形.正方形.正五边形.正六边形一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝24°.19.多边形内角和与某一个外角度数总和为 1 350°，求多边形边数.解：设这个外角度数为x°，多边形边数为n.由题意，得(n－2)×180＋x＝1 350.解得x＝1 710－180n.∵0＜x＜180，∴0＜1 710－180n＜180.解得8.5＜n＜9.5.又∵n为正整数，∴n＝9.故多边形边数是9.20.(河北中考)已知n边形内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲.乙说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程方法确定x.解：(1)甲对，乙不对.理由：∵θ＝360°，∴(n －2)×180＝360，解得n ＝4. ∵θ＝630°，∴(n －2)×180＝630，解得n ＝112.∵n 为整数，∴θ不能取630°.(2)依题意得(n －2)×180＋360＝(n ＋x －2)×180，解得x ＝2. 03 综合题21.(1)如图1.2，试研究其中∠1.∠2与∠3.∠4之间数量关系； (2)如果我们把∠1.∠2称为四边形外角，那么请你用文字描述上述关系式；(3)用你发现结论解决下列问题：如图3，AE.DE 分别是四边形ABCD 外角∠NAD.∠MDA 平分线，∠B ＋∠C ＝240°，求∠E 度数.图1 图2 图3解：(1)∵∠3.∠4.∠5.∠6是四边形四个内角， ∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6). ∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°， ∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6). ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.(2)四边形任意两个外角和等于与它们不相邻两个内角和. (3)∵∠B ＋∠C ＝240°， ∴∠MDA ＋∠NAD ＝240°.∵AE.DE 分别是∠NAD.∠MDA 平分线，∴∠ADE ＝12∠MDA ，∠DAE ＝12∠NAD.∴∠ADE ＋∠DAE ＝12(∠MDA ＋∠NAD)＝120°.∴∠E ＝180°－(∠ADE ＋∠DAE)＝60°.13.1 轴对称 13.1.1 轴对称01 基础题 知识点1 轴对称图形1.(常州中考)下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图(黑白阴影图片)中为轴对称图形是(B )2.(天津中考)在一些美术字中，有汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形是(A )3.(天津中考)下列标志中，可以看作是轴对称图形是(D )4.下列英文字母中不是轴对称图形是(A )5.(青海中考)以下图形，对称轴数量小于3是(D )知识点2成轴对称6.下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称是(B)7.如图所示：其中，轴对称图形有甲.乙.丙.丁，与甲成轴对称图形有丁.知识点3轴对称及轴对称图形性质8.如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN 于点O，则下列说法中，不一定正确是(B)A.AC＝A′C′B.AB∥B′C′C.AA′⊥MND.BO＝B′O9.如图是一个风筝图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°，则∠E度数为30°.10.如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝90°.02中档题11.(泰安中考)下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴条数为2图形个数是(C)A.1B.2C.3D.412.下列平面图形一定是轴对称图形有(C)①线段；②角；③三角形；④等腰三角形；⑤平行四边形；⑥长方形；⑦圆.A.7个B.6个C.5个D.4个13.(南充中考)如图，直线MN是四边形AMBN对称轴，点P是直线MN上点，下列说法错误是(B)A.AM＝BMB.AP＝BNC.∠MAP＝∠MBPD.∠ANM＝∠BNM14.(天水中考)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F 周长之和为(C)A.3B.4C.6D.815.黑体汉字中“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征汉字：答案不唯一，如“目”“天”“合”等.16.请在如图所示这组符号中，找出它们所蕴含内在规律，然后在横线上设计一个恰当图形.17.如图所示，每组两个图形均全等，哪一组中右边图形与左边图形成轴对称？并找出一对对称点.解：(1).(3)成轴对称，对称点略.18.在下图中，画出你认为是轴对称图形所有对称轴.解：如图所示.19.如图，l是该轴对称图形对称轴.(1)试写出图中两组对应相等线段：AC＝BD，AE＝BE，CF＝DF，AO＝BO等；(2)试写出两组对应相等角：∠BAC＝∠ABD，∠ACD＝∠BDC等；(3)线段AB.CD都被直线l垂直平分.03综合题20.如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于AO，BO对称点，MN分别交AO，BO于点E，F，若△PEF周长等于20 cm，求MN长.解：∵M，N分别是点P关于AO，BO对称点，∴ME＝PE，PF＝NF.又∵△PEF周长为20 cm，即PE＋EF＋PF＝20 cm.∴ME＋EF＋FN＝20 cm，即MN＝20 cm.14.1 整式乘法14.1.1 同底数幂乘法01基础题知识点1直接运用法则计算1.下列各项中，两个幂是同底数幂是(D)A .x 2与a 2B .(－a)5与a 3C .(x －y)2与(y －x)2D .－x 2与x 32.(重庆中考)计算a 3·a 2正确是(B )A .aB .a 5C .a 6D .a 93.(呼伦贝尔中考)化简(－x)3(－x)2，结果正确是(D )A .－x 6B .x 6C .x 5D .－x 54.(福州中考)下列算式中，结果等于a 6是(D )A .a 4＋a 2B .a 2＋a 2＋a 2C .a 2·a 3D .a 2·a 2·a 25.计算：103×104×10＝108.6.计算： (1)a·a 9；解：原式＝a 1＋9＝a 10.(2)x 3n ·x 2n －2；解：原式＝x 3n ＋2n －2＝x 5n －2.(3)(－12)2×(－12)3.解：原式＝(－12)2＋3＝(－12)5＝－125.知识点2 灵活运用法则计算 7.若27＝24·2x ，则x ＝3.8.(大庆中考)若a m ＝2，a n ＝8，则a m ＋n ＝16. 02 中档题9.式子a 2m ＋3不能写成(C )A.a2m·a3B.a m·a m＋3C.a2m＋3D.a m＋1·a m＋210.已知a2·a x－3＝a6，那么x值为7.11.若8×23×32×(－2)8＝2x，则x＝19.12.计算：(1)－x2·(－x)4·(－x)3；解：原式＝－x2·x4·(－x3)＝x2·x4·x3＝x9.(2)(m－n)·(n－m)3·(n－m)4.解：原式＝－(n－m)·(n－m)3·(n－m)4＝－(n－m)1＋3＋4＝－(n－m)8.13.已知4x＝8，4y＝32，求x＋y值.解：4x·4y＝8×32＝256＝44，而4x·4y＝4x＋y，∴x＋y＝4.03综合题14.计算：(－2)2 017＋(－2)2 016.解：原式＝(－2)×(－2)2 016＋(－2)2 016＝(－2＋1)×(－2)2 016＝－22 016.14.1.2 幂乘方01基础题知识点1直接运用法则计算1.(自贡中考)(x4)2等于(B)A.x6B.x8C.x16D.2x42.(吉林中考)计算(－a3)2结果正确是(D)A.a5B.－a5C.－a6D.a63.在下列各式括号内，应填入b4是(C)A.b12＝( )8B.b12＝( )6C.b12＝( )3D.b12＝( )24.化简a4·a2＋(a3)2结果是(C)A.a8＋a6B.a6＋a9C.2a6D.a125.计算：(1)(102)8；解：原式＝102×8＝1016.(2)(x m)2；解：原式＝x m×2＝x2m.(3)[(－a)3]5；解：原式＝(－a)3×5＝(－a)15＝－a15.(4)－(x2)m.解：原式＝－x2×m＝－x2m.知识点2灵活运用法则计算6.已知a＝－33，b＝(－3)3，c＝(23)4，d＝(22)6，则下列a，b，c，d四者关系判断，正确是(A)A.a＝b，c＝dB.a＝b，c≠dC.a≠b，c＝dD.a≠b，c≠d7.已知：10m＝3，10n＝2，求(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n值.解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.(2)102n＝(10n)2＝22＝4.(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.02中档题8.如果(9n)2＝312，那么n值是(B)A.4B.3C.2D.19.已知(a m)n＝3，则(a n)m＝3，(a n)3m＝27，a4mn＝81.10.计算：(1)5(a3)4－13(a6)2；解：原式＝5a12－13a12＝－8a12.(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；解：原式＝－7x16＋5x16－x16＝－3x16.(3)[(x＋y)3]6＋[(x＋y)9]2.解：原式＝(x＋y)18＋(x＋y)18＝2(x＋y)18.11.(1)已知x2n＝3，求(x3n)4值；(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y值.解：(1)(x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.(2)∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3.∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.03综合题12.若a m＝a n(a＞0且a≠1，m，n是正整数)，则m＝n.你能利用上面结论解决下面问题吗？试试看，相信你一定行！(1)如果2×8x ×16x ＝222，求x 值；(2)如果(27x )2＝38，求x 值.解：(1)∵2×8x ×16x ＝21＋3x ＋4x ＝222，∴1＋3x ＋4x ＝22.解得x ＝3.(2)∵(27x )2＝36x ＝38，∴6x ＝8，解得x ＝43.14.1.3 积乘方01 基础题知识点1 直接运用法则计算1.(泉州中考)(x 2y)3结果是(D )A .x 5y 3B .x 6yC .3x 2yD .x 6y 32.(株洲中考)下列等式错误是(D )A .(2mn)2＝4m 2n 2B .(－2mn)2＝4m 2n 2C .(2m 2n 2)3＝8m 6n 6D .(－2m 2n 2)3＝－8m 5n 53.(青岛中考)计算a·a 5－(2a 3)2结果为(D )A .a 6－2a 5B .－a 6C .a 6－4a 5D .－3a 64.计算：(1)(2ab)3；解：原式＝23·a 3·b 3＝8a 3b 3. (2)(－3x)4；解：原式＝(－3)4·x 4＝81x 4.(3)(x m y n )2；解：原式＝(x m )2·(y n )2＝x 2m y 2n .(4)(－3×102)4.解：原式＝(－3)4×(102)4＝81×108＝8.1×109.知识点2 灵活运用法则计算5.填空：45×(0.25)5＝(4×0.25)5＝15＝1.6.如果5n ＝a ，4n ＝b ，那么20n ＝ab.7.计算：(－25)2 017×(52)2 017.解：原式＝[(－25)×52]2 017＝(－1)2 017＝－1.02 中档题8.如果(a m b n )3＝a 9b 12，那么m ，n 值等于(B )A .m ＝9，n ＝4B .m ＝3，n ＝4C .m ＝4，n ＝3D .m ＝9，n ＝69.一个立方体棱长是1.5×102 cm ，用a ×10n cm 3(1≤a ≤10，n为正整数)形式表示这个立方体体积为3.375×106cm 3.10.计算：(1)[(－3a 2b 3)3]2；解：原式＝[(－3)3×(a 2)3×(b 3)3]2＝(－27a 6b 9)2＝729a 12b 18.(2)(－2xy 2)6＋(－3x 2y 4)3；解：原式＝64x 6y 12－27x 6y 12＝37x 6y 12.(3)(－14)2 017×161 008； 解：原式＝(－14)×(14)2 016×42 016 ＝(－14)×(14×4)2 016 ＝(－14)×1 ＝－14. (4)(0.5×323)199×(－2×311)200. 解：原式＝(0.5×323)199×(－2×311)199×(－2×311) ＝(－1)×(－2×311) ＝611. 11.已知n 是正整数，且x 3n ＝2，求(3x 3n )3＋(－2x 2n )3值.解：(3x 3n )3＋(－2x 2n )3＝33×(x 3n )3＋(－2)3×(x 3n )2＝27×8＋(－8)×4＝184.03 综合题12.已知2n ＝a ，5n ＝b ，20n ＝c ，试探究a 2，b ，c 之间有什么关系.解：∵20n ＝(22×5)n ＝22n ×5n ＝(2n )2×5n ＝a 2b ，且20n ＝c ，∴c ＝a 2b.14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式01 基础题知识点1 平方差公式几何意义1.将图甲中阴影部分小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形面积关系得到数学公式是(a ＋b)·(a－b)＝a 2－b2.2.如图1，从边长为a 正方形纸片中剪去一个边长为b 小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成两张纸片拼成如图2等腰梯形.图1 图2(1)设图1中阴影部分面积为S 1，图2中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 代数式表示S 1，S 2；(2)请写出上述过程所揭示乘法公式.解：(1)S 1＝a 2－b 2，S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b). (2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.3.在下列多项式乘法中，可以用平方差公式进行计算是(B )A .(x ＋1)(1＋x)B .(12a ＋b)(b －12a) C .(－a ＋b)(a －b) D .(x 2－y)(x ＋y 2)4.下列计算正确是(C )A .(a ＋3b)(a －3b)＝a 2－3b 2B .(－a ＋3b)(a －3b)＝－a 2－9b 2C .(－a －3b)(a －3b)＝－a 2＋9b 2D .(－a －3b)(a ＋3b)＝a 2－9b 25.计算：(1)(1－12a)(1＋12a)＝1－14a 2； (2)(－x －2y)(2y －x)＝x 2－4y 2.6.计算：(1)(14a －1)(14a ＋1)； 解：原式＝116a 2－1. (2)(－3a －12b)(3a －12b)； 解：原式＝(－12b)2－(3a)2＝14b 2－9a 2. (3)(－3x 2＋y 2)(y 2＋3x 2)；解：原式＝(y 2)2－(3x 2)2＝y 4－9x 4.(4)(x ＋2)(x －2)(x 2＋4).解：原式＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.7.若x 2－y 2＝20，且x ＋y ＝－5，则x －y 值是(C )A .5B .4C .－4D .以上都不对8.利用平方差公式直接写出结果：5013×4923＝2_49989. 9.计算：(1)1 007×993；解：原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72＝999 951.(2)2 016×2 018－2 0172.解：原式＝(2 017－1)×(2 017＋1)－2 0172＝2 0172－1－2 0172＝－1.10.(宁波中考)先化简，再求值：(x ＋1)(x －1)＋x(3－x)，其中x ＝2.解：原式＝x 2－1＋3x －x 2＝3x －1.当x ＝2时，原式＝3×2－1＝5.02 中档题11.若(2x ＋3y)(mx －ny)＝9y 2－4x 2，则(B )A .m ＝2，n ＝3B .m ＝－2，n ＝－3C .m ＝2，n ＝－3D .m ＝－2，n ＝312.计算(x 2＋14)(x ＋12)(x －12)结果为(B )A .x 4＋116 B .x 4－116 C .x 4－12x 2＋116 D .x 4－18x 2＋116 13.两个正方形边长之和为5，边长之差为2，那么用较大正方形面积减去较小正方形面积，差是10.14.若(x ＋3)(x －3)＝x 2－mx －n ，则m ＝0，n ＝9.15.计算：(1)(－x －y)(x －y)；解：原式＝(－y)2－x 2＝y 2－x 2.(2)(a ＋2b)(a －2b)－12b(a －8b)； 解：原式＝a 2－(2b)2－12ab ＋4b 2 ＝a 2－12ab. (3)(2x －y)(y ＋2x)－(2y ＋x)(2y －x).解：原式＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2.16.先化简，再求值：(1)(a ＋b)(a －b)＋2a 2，其中a ＝1，b ＝2；解：原式＝a 2－b 2＋2a 2＝3a 2－b 2.当a ＝1，b ＝2时，原式＝3－(2)2＝1.(2)(北京中考)已知2a 2＋3a －6＝0，求式子3a(2a ＋1)－(2a ＋1)(2a －1)值.解：原式＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1，∵2a2＋3a－6＝0，∴2a2＋3a＝6.∴原式＝7.17.解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2).解：9x2－(6x2－4x＋3x－2)＝3(x2－4)，9x2－6x2＋4x－3x＋2＝3x2－12，x＝－14.03综合题18.(1)(百色中考)观察下列各式规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4…可得到(a－b)(a2 016＋a2 015b＋…＋ab2 015＋b2 016)＝a2_017－b2_017；(2)猜想：(a－b)(a n－1＋a n－2b＋…＋ab n－2＋b n－1)＝a n－b n(其中n为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)猜想结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.解：原式＝13[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋ (21)(－1)8＋(－1)9＋1]＝13[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1＝13(210－1)＋1＝342.14.3 因式分解14.3.1 提公因式法01基础题知识点1因式分解定义1.下列式子是因式分解是(C)A.x(x－1)＝x2－1B.x2－x＝x(x＋1)C.x2＋x＝x(x＋1)D.x2－x＝(x＋1)(x－1)2.(滨州中考)把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)则a，b值分别是(B)A.a＝2，b＝3B.a＝－2，b＝－3C.a＝－2，b＝3D.a＝2，b＝－3知识点2提公因式法因式分解3.多项式8m2n＋2mn公因式是(A)A.2mnB.mnC.2D.8m2n4.(自贡中考)多项式a2－4a分解因式，结果正确是(A)A.a(a－4)B.(a＋2)(a－2)C.a(a＋2)(a－2)D.(a－2)2－45.把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，结果正确是(C)A.(a－2)(m2－m)B.m(a－2)(m＋1)C.m(a－2)(m－1)D.m(2－a)(m－1)6.用提公因式法因式分解：(1)3x3＋6x4；解：原式＝3x3(1＋2x).(2)4a3b2－10ab3c；解：原式＝2ab2(2a2－5bc).(3)－3ma3＋6ma2－12ma；解：原式＝－3ma(a2－2a＋4).(4)6p(p＋q)－4q(p＋q).解：原式＝2(p＋q)(3p－2q).02中档题7.(威海中考)若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n值是(A)A.3B.2C.1D.－18.小玉同学在计算34.3×17.1＋82.5×17.1－26.8×17.1＋10×17.1＝17.1×(34.3＋82.5－26.8＋10)＝1_710.9.(株洲中考)把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝6，n＝1.10.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成(x－2)(x－4)，则这个二次三项式为x2－6x＋9.11.将下列各式分解因式：(1)x4＋x3＋x；解：原式＝x(x3＋x2＋1).(2)x(x－y)＋y(y－x)；解：原式＝x(x －y)－y(x －y) ＝(x －y)(x －y) ＝(x －y)2.(3)6x(a －b)＋4y(b －a)； 解：原式＝6x(a －b)－4y(a －b) ＝2(a －b)(3x －2y). (4)(a 2－ab)＋c(a －b)； 解：原式＝a(a －b)＋c(a －b) ＝(a ＋c)(a －b). (5)4q(1－p)3＋2(p －1)2. 解：原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2 ＝2(1－p)2(2q －2pq ＋1). 03 综合题12.△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形.等腰三角形还是直角三角形？说明理由.解：△ABC 是等腰三角形，理由： ∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ， ∴(a －c)＋2b(a －c)＝0. ∴(a －c)(1＋2b)＝0. 故a ＝c 或1＋2b ＝0. 显然b ≠－12，故a ＝c.∴此三角形为等腰三角形.15.1 分式 15.1.1 从分数到分式01 基础题 知识点1 分式概念1.设A.B 都是整式，若AB表示分式，则(C )A .A.B 都必须含有字母 B .A 必须含有字母C .B 必须含有字母D .A.B 都必须不含有字母2.下列各式中，是分式是(C )A .35B .x 2－x ＋23C .x －13x 2＋4D .12x ＋23 3.列式表示下列各量：(1)王老师骑自行车用了m 小时到达距离家n 千米学校，则王老师平均速度是nm 千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车平均速度是nm －0.2千米/小时；(2)某班在一次考试中，有m 人得90分，有n 人得80分，那么这两部分人合在一起平均分是90m ＋80nm ＋n分.4.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？－3b a 2，－a 2b 3，1x －1，13(a 2＋2ab ＋b 2)，2x 2x ，a π. 解：分式：－3b a 2，1x －1，2x 2x；整式：－a 2b 3，13(a 2＋2ab ＋b 2)，a π.知识点2 分式有无意义条件5.若代数式1x －3在实数范围内有意义，则实数x 取值范围是(C )A .x ＜3B .x ＞3C .x ≠3D .x ＝36.(贺州中考)分式2x ＋2无意义，则x 取值范围是(B )A .x ≠－2B .x ＝－2C .x ≠2D .x ＝27.下列分式中字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)5x ； (2)x ＋3x －3； (3)3x 2x ＋4； (4)1a －b ； (5)3m ＋2n 2m －n ； (6)1a 2－2a ＋1. 解：(1)x ≠0. (2)x ≠3. (3)x ≠－2. (4)a ≠b. (5)n ≠2m. (6)a ≠1.知识点3 分式值8.若分式－x －3x ＋2值为0，则x 值是(A )A .－3B .－2C .0D .39.已知a ＝1，b ＝2，则aba －b值是(D )A .12B .－12C .2D .－210.若分式x 2－1x －1值为零，则x 值为(C )A .0B .1C .－1D .±111.当x ＜5时，分式1－x ＋5值为正；当x 为任意实数时，分式－4x 2＋1值为负.02 中档题12.当x 为任意实数时，下列分式一定有意义是(C ) A .x x ＋1 B .4x C .x －1x 2＋1 D .x x 2－113.(天水中考)已知分式（x －1）（x ＋2）x 2－1值为0，那么x 值是(B )A .－1B .－2C .1D .1或－214.某市对一段全长1 500米道路进行改造.原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成影响，实际施工时，每天修路比原计划2倍还多35米，那么修这条路实际用了1 5002x ＋35天. 15.当x ＝2时，分式x －kx ＋m 值为0，则k.m 必须满足条件是k ＝2且m ≠－2.16.若分式x －3x 2值为负数，则x 取值范围是x<3且x ≠0.17.若3a ＋1值是一个整数，则整数a 可以取哪些值？解：依题意，得a ＋1＝±1或a ＋1＝±3， ∴整数a 可以取0，－2，2，－4.18.当x 取何值时，分式6－2|x|（x ＋3）（x －1）满足下列要求：(1)值为零； (2)无意义； (3)有意义.解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6－2|x|＝0，（x ＋3）（x －1）≠0，解得x ＝3，∴当x ＝3时分式值为0.(2)解(x ＋3)(x －1)＝0，得x ＝－3或x ＝1， ∴当x ＝－3或x ＝1时，分式无意义.(3)由(2)可知，当x ≠－3且x ≠1时，分式有意义. 19.(绥化中考)自学下面材料后，解答问题.分母中含有未知数不等式叫做分式不等式.如：x －2x ＋1＞0；2x ＋3x －1＜0等.那么如何求出它们解集呢？根据我们学过有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：(1)若a ＞0，b ＞0，则a b ＞0；若a ＜0，b ＜0，则ab ＞0；(2)若a ＞0，b ＜0，则a b ＜0；若a ＜0，b ＞0，则ab＜0.反之：①若ab ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b ＜0；②若ab ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0b ＞0.根据上述规律，求不等式x －2x ＋1＞0解集.解：由题中规律可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x ＋1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，x ＋1＜0，∴x ＞2或x ＜－1. 03 综合题20.分式1x 2－2x ＋m 不论x 取何实数总有意义，求m 取值范围.解：∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1－1＋m ＝(x －1)2＋m －1，(x －1)2≥0，∴当m －1>0时，(x －1)2＋m －1值不可能为零. ∴当m>1时，不论x 取何实数，1x 2－2x ＋m 总有意义.15.1.2 分式基本性质01 基础题知识点1 分式基本性质1.使得等式47＝4×m7×m成立m 取值范围为(D )A .m ＝0B .m ＝1C .m ＝0或m ＝1D .m ≠02.根据分式基本性质填空：(1)8a 2c 12a 2b ＝2c （3b ）； (2)2x x ＋3＝（2x 2）. 3.不改变分式值使下列分式分子和分母都不含“－”号： (1)－3x －y ；(2)－2a a －b ；(3)2m －3n 2；(4)－a 3b.解：(1)3x y .(2)2a b －a .(3)－2m 3n 2.(4)－a3b.4.不改变分式值，把下列各式分子.分母中各项系数都化为整数： (1)0.2x ＋y0.02x －0.5y； 解：原式＝（0.2x ＋y ）×50（0.02x －0.5y ）×50＝10x ＋50yx －25y .(2)13x ＋14y 12x －13y . 解：原式＝（13x ＋14y ）×12（12x －13y ）×12＝4x ＋3y6x －4y .知识点2 约分5.下列分式中最简分式是(C ) A .a －b b －a B .a 3＋a 4a 2 C .a 2＋b 2a ＋b D .1－a －a 2＋2a －16.(来宾中考)当x ＝6，y ＝－2时，代数式x 2－y 2（x －y ）2值为(D )A .2B .43C .1D .127.约分： (1)－16x 2y 320xy 4；解：原式＝4xy 3·（－4x ）4xy 3·5y ＝－4x5y.(2)ab 2＋2b b；解：原式＝b （ab ＋2）b ＝ab ＋2.(3)x 2－4xy ＋2y； 解：原式＝（x ＋2）（x －2）y （x ＋2）＝x －2y .(4)a 2＋6a ＋9a 2－9.解：原式＝（a ＋3）2（a ＋3）（a －3）＝a ＋3a －3.知识点3 通分8.分式y 2x 7与15x4最简公分母是(A )A .10x 7B .7x 7C .10x 11D .7x 119.(1)分式1ab 2.53a 2c 最简公分母是3a 2b 2c ，通分为3ac 3a b c .5b 23a b c ；(2)分式1a 2－1.2a 2－a最简公分母是a(a ＋1)(a －1)，通分为a a （a ＋1）（a －1）.2（a ＋1）a （a ＋1）（a －1）.10.通分： (1)x 2y 与23xy2； 解：最简公分母是6xy 2. x 2y ＝x·3xy 2y·3xy ＝3x 2y 6xy 2，23xy 2＝2×23xy 2×2＝46xy 2. (2)2n n －2，3n n ＋3； 解：最简公分母是(n －2)(n ＋3). 2n n －2＝2n （n ＋3）（n －2）（n ＋3）＝2n 2＋6n n 2＋n －6， 3n n ＋3＝3n （n －2）（n ＋3）（n －2）＝3n 2－6n n 2＋n －6. (3)4a 5b 2c ，3c 10a 2b ，5b －2ac 2. 解：4a 5b 2c ＝8a 3c 10a 2b 2c 2，3c 10a 2b ＝3bc 310a 2b 2c 2， 5b －2ac 2＝－25ab 310a 2b 2c 2. 02 中档题11.(淄博中考)下列运算错误是(D )A .（a －b ）2（b －a ）2＝1 B .－a －b a ＋b ＝－1 C .0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b D .a －b a ＋b ＝b －a b ＋a12.分式xy x ＋y中x ，y 值都扩大到原来2倍，则分式值(A )A .扩大到原来2倍B .不变C .缩小到原来12D .缩小到原来1413.化简：(1)5m 3n 215m 2n 3＝m 3n (2)y －x x 2－y 2＝－1x ＋y .14.通分： (1)1x 2－4，34－2x； 解：1x 2－4＝22（x ＋2）（x －2），34－2x ＝－3（x ＋2）2（x ＋2）（x －2）. (2)x －y ，2y 2x ＋y；解：x －y ＝（x －y ）（x ＋y ）x ＋y ＝x 2－y 2x ＋y ，2y 2x ＋y ＝2y 2x ＋y. (3)29－3a ，a －1a 2－9，9a 2－6a ＋9. 解：29－3a ＝2（3－a ）（a ＋3）3（a －3）2（a ＋3），a －1a 2－9＝（a －1）·3（a －3）（a ＋3）（a －3）·3（a －3） ＝3（a －1）（a －3）3（a －3）2（a ＋3）， 9a 2－6a ＋9＝9·3（a ＋3）（a －3）2·3（a ＋3）＝27（a ＋3）3（a －3）2（a ＋3）. 15.(广东中考)从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a ＝6，。