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数列知识点归纳及

数列知识点归纳及例题分析《数列》知识点归纳及例题分析一、数列的概念:1.归纳通项公式:注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式: (1)0,-3,8,-15,24,....... (2)21,211,2111,21111,......(3), (17)9,107,1,232.n a 与n S 的关系:⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n nn注意:①强调2,1≥=n n 分开,注意下标;②n a 与n S 之间的互化(求通项)例2:已知数列}{n a 的前n 项和⎩⎨⎧≥+==2,11,32n n n S n ,求n a .3.数列的函数性质:(1)单调性的判定与证明:①定义法;②函数单调性法 (2)最大(小)项问题:①单调性法;②图像法 (3)数列的周期性:(注意与函数周期性的联系)例3:已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531=a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列1.等比数列与等差数列基本性质对比(类比的思想,比较相同之处和不同之处)等差数列等比数列定义 1n n a a d +-=(d 是常数1,2,3n =,…)1n na q a +=(q 是常数,且0≠q ,1,2,3n =,…)通项公式()11n a a n d =+-()n m a a n m d =+-11n n a a q -=推广:n m n m a a q -=求和 公式()112n n n S na d -=+=()12n n a a +()111(1)1(1)11n n n na q S a q a a qq qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 中项公式 2n k n k a a A -++=(*,,0n k N n k ∈>>)k n k n a a G +-±=(*,,0n k N n k ∈>>)例4(等差数列的判定或证明):已知数列{a n}中,a1=35,a n=2-1an-1(n≥2,n∈N*),数列{b n}满足b n=1an-1(n∈N*).(1)求证:数列{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明∵a n=2-1an-1(n≥2,n∈N*),b n=1an-1.∴n≥2时,b n-b n-1=1an-1-1an-1-1重要性质1、等和性:srnmaaaa+=+(srnmNsrnm+=+∈,,,,*)2、(第二通项公式)()n ma a n m d=+-及mnaad mn--=3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如:14710,,,,a a a a⋅⋅⋅(下标成等差数列)4、nnnnnsssss232,,--成等差数列5、}{nSn是等差数列1、等积性:srnmaaaa⋅=⋅(srnmNsrnm+=+∈,,,,*)2、(第二通项公式)n mn ma a q-=⋅及mnmnaaq=-3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如:14710,,,,a a a a⋅⋅⋅(下标成等差数列)4、nnnnnsssss232,,--成等比数列。

(仅当公比1q=-且n为偶数时,不成立)等价条件1.定义:a n-a n-1=d (n≥2)}{na⇔是等差数列2.等差中项:2a n+1=a n+a n+2}{na⇔是等差数列3.通项公式:pknan+=(pk,为常数)}{na⇔是等差数列4.前n项和:BnAnSn+=2(BA,为常数)}{na⇔是等差数列1.定义:qaann=-1(n≥2)}{na⇔是等比数列2.等比中项:22221+++=nnnaaa)0(≠na}{na⇔是等比数列3.通项公式:nnqca⋅=(0,≠qc且为常数)}{na⇔是等比数列4.前n项和:kqkS nn-⋅=(0,≠qk且为常数)}{na⇔是非常数列的等比数列联系真数等比,对数等差;指数等差,幂值等比。

=1⎝ ⎛⎭⎪⎫2-1a n -1-1-1a n -1-1=a n -1a n -1-1-1a n -1-1=1. ∴数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知,b n =n -72,则a n =1+1b n =1+22n -7,设函数f (x )=1+22x -7,易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72,+∞内为减函数.∴当n =3时,a n 取得最小值-1;当n =4时,a n 取得最大值3.例5(等差数列的基本量的计算)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(1)若S 5=5,求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围.解 (1)由题意知S 6=-15S 5=-3,a 6=S 6-S 5=-8.所以⎩⎨⎧5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7. (2)方法一 ∵S 5S 6+15=0,∴(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 21+9da 1+10d 2+1=0.因为关于a 1的一元二次方程有解,所以 Δ=81d 2-8(10d 2+1)=d 2-8≥0, 解得d ≤-22或d ≥2 2.方法二 ∵S 5S 6+15=0,∴(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0, 9da 1+10d 2+1=0.故(4a 1+9d )2=d 2-8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.例6(前n 项和及综合应用)(1)在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{a n }的通项公式是a n =4n -25,求数列{|a n |}的前n 项和.解 方法一 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53.∴a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653.∴a 13=0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0,∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 13=S 12=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130.方法二 同方法一求得d =-53.∴S n =20n +n n -12·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-56n 2+1256n =-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524.∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. (2)∵a n =4n -25,a n +1=4(n +1)-25, ∴a n +1-a n =4=d ,又a 1=4×1-25=-21.所以数列{a n }是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列. 令⎩⎨⎧a n =4n -25<0, ①a n +1=4n +1-25≥0, ②由①得n <614;由②得n ≥514,所以n =6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项,公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列, 而|a 7|=a 7=4×7-24=3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ,则T n=⎩⎪⎨⎪⎧21n +nn -12×-4 n ≤666+3n -6+n -6n -72×4n ≥7=⎩⎨⎧-2n 2+23n n ≤6,2n 2-23n +132 n ≥7.例7已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3例8等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ,且7453nnS n T n ,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . (先求an/bn n=5,13,35)例9已知数列{}n a 中,113a =,当2≥n 时,其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-,则数列{}n a 的通项公式为()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥例10在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n+=++,则n a = .例11 311b a a -+是和的等比中项,则a +3b 的最大值为 2 . 例12 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为( ) 例13 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_三、数列求和: (1)倒序相加法如:已知函数1()()42x f x x R =∈+,求12()()()m mS f f f m m m =+++_________(2)错位相减法:{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是等比数列。

(3)裂项相消法:形如)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=(4)拆项分组法:形如n n n c b a ±=,如:nn n a 32+=,65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,21)1(n a n n ⋅-=-练习:1、数列1,211+,3211++,···,n+++ 211的前n 项和为( B ) A .122+n n B .12+n nC .12++n nD .12+n n2、数列,,1617,815,413,211 前n 项和=n S .3、数列{}n a 的通项公式为nn a n ++=11,则S 100=_________________。

4、设()111126121n S n n =+++++,且134n n S S +⋅=,则=n .65、设*N n ∈,关于n 的函数21)1()(n n f n ⋅-=-,若)1()(++=n f n f a n ,则数列}{n a 前100项的和=++++100321a a a a ________.答案:100.解答:])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+⋅-+⋅-=++=-,)12()1(+-=n n ,所以201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a2ln n+22,Z 3k k ππ±∈100502=⨯=. 四、求数列通项式(1)公式法:121+=+n n a a ,112++-=⋅n n n n a a a a ,121+=+n nn a a a 等(2)累加法:形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-,且)(n f 不为常数 (3)累乘法:形如)2)((1≥⋅=-n n f a a n n 且)(n f 不为常数 (4)待定系数法:形如1,0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型(5)转换法:已知递推关系0),(=n n a S f ⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n解题思路:利用⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n n n变化(1)已知0),(11=--n n a S f ;(2)已知0),(1=--n n n S S S f (6)猜想归纳法(慎用) 练习:考点三:数列的通项式1、在数列{}n a 中,前n 项和842--=n n S n ,则通项公式=n a _______________3、已知数列的前n 项和nn S 23+=,则=n a _______________15122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩4、已知数列{}n a ,21=a ,231++=+n a a n n ,则 =n a )(,23*2N n nn ∈+5、在数列{}n a 中,1112,lg 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭(*N n ∈),则n a = .6、如果数列{}n a 满足)(53111*++∈=-=N n a a a a a n n n n ,,则=n a ________________7、}{n a 满足11=a ,131+=+n n n a a a ,则n a =_______132n -8、已知数列{}n a 的首项12a =,且121n n a a +=-,则通项公式n a = 121n -+ 9、若数列{}n a 满足()*112,32n n a a a n N +==+∈,则通项公式n a =10、如果数列{}n a 的前n 项和323-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是( D ) A .)1(22++=n n a n B .n n a 23⋅=C .13+=n a nD .n n a 32⋅=五、数列应用题: 等差数列模型1、一种设备的价格为450000元,假设维护费第一年为1000元,以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为 。

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