数列知识点归纳及例题分析《数列》知识点归纳及例题分析一、数列的概念：1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,......(3), (17)9,107,1,232.n a 与n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n nn注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项）例2：已知数列}{n a 的前n 项和⎩⎨⎧≥+==2,11,32n n n S n ，求n a .3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）例3：已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531=a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）等差数列等比数列定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…）1n na q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…）通项公式()11n a a n d =+-()n m a a n m d =+-11n n a a q -=推广：n m n m a a q -=求和 公式()112n n n S na d -=+=()12n n a a +()111(1)1(1)11n n n na q S a q a a qq qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 中项公式 2n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>）k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n}中，a1＝35，a n＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{b n}满足b n＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明∵a n＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，b n＝1an－1.∴n≥2时，b n－b n－1＝1an－1－1an－1－1重要性质1、等和性：srnmaaaa+=+（srnmNsrnm+=+∈,,,,*）2、（第二通项公式）()n ma a n m d=+-及mnaad mn--=3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：14710,,,,a a a a⋅⋅⋅（下标成等差数列）4、nnnnnsssss232,,--成等差数列5、}{nSn是等差数列1、等积性：srnmaaaa⋅=⋅（srnmNsrnm+=+∈,,,,*）2、（第二通项公式）n mn ma a q-=⋅及mnmnaaq=-3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：14710,,,,a a a a⋅⋅⋅（下标成等差数列）4、nnnnnsssss232,,--成等比数列。

（仅当公比1q=-且n为偶数时，不成立）等价条件1.定义：a n－a n－1＝d (n≥2)}{na⇔是等差数列2.等差中项：2a n＋1＝a n＋a n＋2}{na⇔是等差数列3.通项公式：pknan+=（pk,为常数）}{na⇔是等差数列4.前n项和：BnAnSn+=2（BA,为常数）}{na⇔是等差数列1.定义：qaann=-1(n≥2)}{na⇔是等比数列2.等比中项：22221+++=nnnaaa)0(≠na}{na⇔是等比数列3.通项公式：nnqca⋅=（0,≠qc且为常数）}{na⇔是等比数列4.前n项和：kqkS nn-⋅=（0,≠qk且为常数）}{na⇔是非常数列的等比数列联系真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比。

＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. ∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数．∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.例5（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2.方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.例6（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解 方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0，∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． 令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6. 即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋nn －12×－4 n ≤666＋3n －6＋n －6n －72×4n ≥7＝⎩⎨⎧－2n 2＋23n n ≤6，2n 2－23n ＋132 n ≥7.例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3例8等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ，且7453nnS n T n ,则使得n na b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . （先求an/bn n=5,13,35）例9已知数列{}n a 中，113a =，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足2221nn n S a S =-，则数列{}n a 的通项公式为()()21132214n n a n n ⎧=⎪=⎨⎪-⎩≥例10在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n+=++，则n a = .例11 311b a a -+是和的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 . 例12 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为（ ） 例13 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_三、数列求和： （1）倒序相加法如：已知函数1()()42x f x x R =∈+，求12()()()m mS f f f m m m =+++_________（2）错位相减法：{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是等比数列。

（3）裂项相消法：形如)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（4）拆项分组法：形如n n n c b a ±=，如：nn n a 32+=，65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，21)1(n a n n ⋅-=-练习：1、数列1，211+，3211++，···，n+++ 211的前n 项和为（ B ） A ．122+n n B ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n2、数列,,1617,815,413,211 前n 项和=n S ．3、数列{}n a 的通项公式为nn a n ++=11，则S 100＝_________________。

4、设()111126121n S n n =+++++，且134n n S S +⋅=，则=n ．65、设*N n ∈，关于n 的函数21)1()(n n f n ⋅-=-，若)1()(++=n f n f a n ，则数列}{n a 前100项的和=++++100321a a a a ________．答案：100．解答：])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+⋅-+⋅-=++=-，)12()1(+-=n n ，所以201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a2ln n+22,Z 3k k ππ±∈100502=⨯=． 四、求数列通项式（1）公式法：121+=+n n a a ，112++-=⋅n n n n a a a a ，121+=+n nn a a a 等（2）累加法：形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-，且)(n f 不为常数 （3）累乘法：形如)2)((1≥⋅=-n n f a a n n 且)(n f 不为常数 （4）待定系数法：形如1,0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型（5）转换法：已知递推关系0),(=n n a S f ⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n解题思路：利用⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n a a n n n变化（1）已知0),(11=--n n a S f ；（2）已知0),(1=--n n n S S S f （6）猜想归纳法（慎用） 练习：考点三：数列的通项式1、在数列{}n a 中，前n 项和842--=n n S n ，则通项公式=n a _______________3、已知数列的前n 项和nn S 23+=，则=n a _______________15122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩4、已知数列{}n a ，21=a ，231++=+n a a n n ，则 =n a )(,23*2N n nn ∈+5、在数列{}n a 中，1112,lg 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭（*N n ∈），则n a ＝ .6、如果数列{}n a 满足)(53111*++∈=-=N n a a a a a n n n n ，，则=n a ________________7、}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______132n -8、已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a +=-，则通项公式n a = 121n -+ 9、若数列{}n a 满足()*112,32n n a a a n N +==+∈，则通项公式n a =10、如果数列{}n a 的前n 项和323-=n n a S ，那么这个数列的通项公式是（ D ） A ．)1(22++=n n a n B ．n n a 23⋅=C ．13+=n a nD ．n n a 32⋅=五、数列应用题： 等差数列模型1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为 。