三角函数大题
真题感悟
【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，已知△ABC 的面积为
（1）求sinBsinC ；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长
【2016，17】的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若
，的面积为
，求
的周长．
【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝，BC ＝1，P 为△
ABC 内一点，∠BPC ＝90°．
(1)若PB ＝
，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．
2
3sin a
A
ABC C B A ,,c b a ,,c A b B
a C )
cos cos (cos 2C 7c
ABC 2
33ABC 312
【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
．
（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．
[微题型1]三角形基本量的求解
【例2－1】(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
且cos A
a
＋
cos B
b
＝
sin C
c
.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝6
5
bc，求tan B.
a b c
cos3sin0
a C a C
b c
2
a3b c
[微题型2]求解三角形中的最值问题
【例2－2】(2016·淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0. (1)求A ；
(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.
[微题型3]解三角形与三角函数的综合问题
【例2－3】(2016·四川成都诊断二)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2
ωx －sin 2
ωx)，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f(x)＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，若f(B)＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →
的值.
【训练2】(2016·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝a2
4
，求角A的大小.
1.(2016·
北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.
(1)求角B的大小；
(2)求2cos A＋cos C的最大值.
2.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin Bsin C 的值.
3.(2015·山东卷)设f(x)＝sin xcos x －cos 2
x ＋π
4.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f A
2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.
4、（陕西高考）
ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
（1）若,,a b c 成等差数列，证明：sin sin 2sin A C A C
（2）若,,a b c 成等比数列，求
cos B 的最小值
【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为
（1）求sinBsinC ；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长
【解析】（1）面积．且，，
，由正弦定理得
，
由得．
（2）由（1）得，，，，
又，，，，由余弦定理得
①
由正弦定理得，，②
由①②得，，即周长为．
【2016，17】的内角
的对边分别为，已知
．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为
，求
的周长．
【解析】⑴
，由
正
弦
定
理
得
：
，
∵
，
，
∴
∴，，
∵
，
∴⑵由余弦定理得：
，，
，
∴，∴，∴周长为【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝，BC ＝1，P 为△
ABC 内一点，∠BPC ＝90°.
2
3sin a
A
∵ABC △2
3sin a
S
A
1sin 2
S
bc A ∴
2
1sin 3sin 2
a
bc A A
∴2
2
3sin 2
a
bc A ∵2
2
3sin sin sin sin 2
A
B C A sin 0A 2sin sin 3
B C
2sin sin 3
B C
1cos cos 6
B C
∵πA
B C ∴1cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A
B C B C B B C
∵0πA
，∴60A 3sin 2A
1cos 2
A 2
2
2
9
a
b
c
bc sin sin a b B A
sin sin a c
C A
∴2
2
sin sin 8
sin a
bc
B C A
33b
c
∴3
33a
b
c
ABC △3
33ABC C B A ,,c b a ,,c A b B a C )
cos cos (cos 2C 7c
ABC 2
33ABC 2cos cos cos C a B
b A
c
2cos sin cos sin cos sin C A B B A C 2cos sin sin C A B
C πA
B
C 0π
A B C 、、，sin sin 0
A
B
C
2cos 1C
1cos 2C
0π
C
，π3C
2
2
2
2cos c a
b
ab C 2
2
1
722a
b
ab
2
37
a b ab 1333sin 2
4
2
S ab C
ab
6ab 2
18
7a
b
5
a
b
ABC △57
a b c 3
(1)若PB ＝
，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得
PA 2
＝，故P A ＝
.
(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得
，
化简得
cos α
＝4sin α，所以tan α＝，即tan ∠PBA ＝
.
【2012，17】已知
，，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，
．
（1）求A ；（2）若，△ABC 的面积为，求，．
【解析】（1）根据正弦定理
，得，，
，
因为，
所以
，
即，
（1）由三角形内角和定理，得，
代入（1）式得，
化简得
，
因为，所以
，即，
而，
，从而，解得．
（2）若，△ABC 的面积为
，又由（1）得，
则
，化简得
，
12
1173
23
cos 30
4
2
4
72
3
sin sin150
sin(30
)
334
34
a b c cos 3sin 0a C a C b c
2a 3b c R C
c B
b A
a 2sin sin sin A R a
sin 2B R b
sin 2C R c sin 2cos 3sin 0a C a C b c 0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(C R B
R C A R C A R 0sin sin sin sin 3cos sin C
B C A C
A C A C A C A
B
sin cos cos sin )
sin(sin 0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin C C
A C A C A C A C C A C
A sin sin cos sin sin 30sin C 1cos sin 3A A 2
1)
6sin(A
A
6
56
6A
6
6A
3
A
2a 33
A
4
3
cos
23
3
sin 21
2
2
2
a
bc c
b
bc 8
42
2
c
b
bc
从而解得，．
2b 2c。