§2 独立性检验 2.1 条件概率与独立事件学习目标 1.理解条件概率与两个事件相互独立的概念.2.掌握条件概率的计算公式.3.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一 条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格． 令A ＝{产品的长度合格}，B ＝{产品的质量合格}，AB ＝{产品的长度、质量都合格}． 思考1 试求P (A )，P (B )，P (AB )． 答案 P (A )＝93100，P (B )＝90100，P (AB )＝85100.思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B 发生)，求它的长度(即A 发生)也合格(记为A |B )的概率．答案 事件A |B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝8590. 思考3 P (B )，P (AB )，P (A |B )间有怎样的关系． 答案 P (A |B )＝P (AB )P (B ).梳理 条件概率 (1)概念事件B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )(其中，A ∩B 也可以记成AB )．(3)当P (A )>0时，A 发生时B 发生的条件概率为P (B |A )＝P (AB )P (A ). 知识点二 独立事件甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．思考1 事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 答案 不影响．思考2 P (A )，P (B )，P (AB )的值为多少？ 答案 P (A )＝35，P (B )＝12，P (AB )＝3×25×4＝310.思考3 P (AB )与P (A )，P (B )有什么关系？ 答案 P (AB )＝P (A )·P (B )． 梳理 独立事件(1)概念：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)推广：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)拓展：若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．1．在“A 已发生”的条件下，B 发生的概率可记作P (A |B )．( × )2．在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算．( √ )3．如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )4．“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( √ )类型一 条件概率例1 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是多少？ 解 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则： (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率是 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23.(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率是 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20＝0.60.反思与感悟 条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).特别地，当B ⊆A 时，P (B |A )＝P (B )P (A ).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).跟踪训练1 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率是110，设下雨为事件A ，刮风为事件B .求：(1)P (A |B )； (2)P (B |A )．考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率解 由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110.(1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝110215＝34.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110415＝38.类型二 事件的独立性的判断例2 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断解 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )， 所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P (AB )＝P (A )P (B )是否成立．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．跟踪训练2 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第一枚为正面”，事件B 是“第二枚为正面”，事件C 是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________．(填序号)①A ，B ；②A ，C ；③B ，C . 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 ①②③解析 根据事件相互独立性的定义判断，只要P (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C 相互独立．类型三求相互独立事件的概率例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地，已知两个事件A，B，它们发生的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件A B.(4)A，B恰有一个发生为事件A B＋A B.(5)A，B中至多有一个发生为事件A B＋A B＋A B.跟踪训练3某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，则此次考试中恰有一科成绩未获得第一名的概率是()A．0.612 B．0.765 C．0.329 D．0.68考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个相互独立事件同时发生的概率答案 C解析分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85，故P(A BC＋A B C＋AB C)＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329.1．下列说法正确的是()A．P(B|A)<P(AB)B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0<P(B|A)<1 D．P(A|A)＝0 答案 B解析∵P(B|A)＝P(AB) P(A)，而P(A)≤1，∴P(B|A)≥P(AB)，∴A错；当P (A )＝1时，P (AB )＝P (B )， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )，∴B 正确；而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C 、D 错，故选B.2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率 答案 B解析 设“两个零件中恰有一个一等品”为事件A ， 因为事件相互独立，所以P (A )＝23×14＋13×34＝512.3．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A 1表示第1次摸得白球，A 2表示第2次摸得白球，则A 1与A 2是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．对立事件D ．不相互独立事件考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 D解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A ，C 错．而事件A 1的发生对事件A 2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件．4．在感冒流行的季节，设甲、乙两人患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________． 答案 0.8解析 设甲、乙患感冒分别为事件A ，B ，则P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.5．一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是________，问题得到解决的概率是________． 考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求两个相互独立事件同时发生的概率答案 13 23解析 设“甲解决这道难题”为事件A ，“乙解决这道难题”为事件B ，则A ，B 相互独立． 所以两人都未解决的概率为P (A B )＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝13. 问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.1．条件概率的前提条件是：在知道事件A 必然发生的前提下，只需局限在A 发生的范围内考虑问题，在事件A 发生的前提下事件B 发生，等价于事件A 和B 同时发生，由古典概型知，其条件概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝n (AB )n (Ω)n (A )n (Ω)＝P (AB )P (A )，其中，n (Ω)为一次试验可能出现的所有结果数，n (A )为事件A 所包含的结果数，n (AB )为AB 同时发生时的结果数．2．P (AB )＝P (A )P (B )使用的前提条件是A ，B 为相互独立事件；当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 、A 与B 、A 与B 也相互独立．3．求事件的概率时，有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题，可考虑用他们的对立事件求解．一、选择题1．抛掷一颗骰子，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( ) A ．互斥事件 B ．相互独立事件 C ．既互斥又相互独立事件 D ．既不互斥又不独立事件 考点 相互独立事件的定义 题点 相互独立事件的判断 答案 B解析 A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件．2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.6 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A解析 记“数学不及格”为事件A ，“语文不及格”为事件B ， 则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.3．盒中有5个红球，11个蓝球，红球中有2个玻璃球，3个塑料球，蓝球中有4个玻璃球，7个塑料球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率是( ) A.13 B.23 C.14 D.34 答案 B解析 设“摸到玻璃球”为事件A ，“摸到蓝球”为事件B ，则P (A )＝616＝38，P (AB )＝14，∴所求概率P ＝P (AB )P (A )＝14×83＝23.4.如图，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06 答案 B解析 系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作， 则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.5.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.14考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 C解析 满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1. ∴所求事件的概率为P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 6．设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )为( ) A.29 B.118 C.13 D.23考点 相互独立事件的性质及应用 题点 相互独立事件性质的应用 答案 D解析 由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )P (A )， 即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝19，则P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23.7．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为( )A.35B.45C.34D.14 答案 C解析 设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P (A )＝35，P (A )＝1－35＝25，P (B )＝P ，P (B )＝1－P ，依题意得35×(1－P )＋25×P ＝920， 解得P ＝34，故选C. 8．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34考点 相互独立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用答案 D解析 根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局．甲队直接胜一局，其概率为P 1＝12；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P 2＝12×12＝14.由概率加法公式可得甲队获胜的概率为P ＝12＋12×12＝34. 二、填空题9．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求多个相互独立事件同时发生的概率答案 35解析 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因为事件M ，N 相互独立，所以能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35. 10．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是12，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 23 解析 设“用满6 000小时未坏”为事件A ，“用满10 000小时未坏”为事件B ，则P (A )＝34，P (AB )＝P (B )＝12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1234＝23. 11．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________． 答案 0.09解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.三、解答题12．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．解 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝1836＝12，P (AB )＝636＝16， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13. 即在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13. 13．已知10张奖券中有3张有奖，甲、乙两人从中各抽1张，甲先抽、乙后抽，求：(1)甲中奖的概率；(2)乙中奖的概率；(3)在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率．解 设“甲中奖”为事件A ，“乙中奖”为事件B .(1)由题意得P (A )＝310. (2)P (B )＝P (AB ＋A B )＝P (AB )＋P (A B )，∵P (AB )＝310×29＝115，P (A B )＝710×39＝730， ∴P (B )＝115＋730＝930＝310. (3)方法一 P (A )＝710，P (A B )＝730， ∴P (B |A )＝P (A B )P (A )＝730710＝13. 方法二 甲未中奖条件下9张奖券中有3张有奖，∴P (B |A )＝39＝13. 四、探究与拓展14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝________.考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 13解析 根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．∴事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”，共6个，∴事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.15．设M ，N 为两个随机事件，给出以下命题：①若M ，N 为互斥事件，且P (M )＝15，P (N )＝14，则P (M ∪N )＝920； ②若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，则M ，N 为相互独立事件； ③若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，则M ，N 为相互独立事件； ④若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16，则M ，N 为相互独立事件； ⑤若P (M )＝12，P (N )＝13，P (M N )＝56，则M ，N 为相互独立事件． 其中正确命题的个数为________．答案 3解析 ①中，若M ，N 为互斥事件，且P (M )＝15，P (N )＝14，则P (M ∪N )＝15＋14＝920，故①正确；②中，若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16， 则由相互独立事件乘法公式知，M ，N 为相互独立事件，故②正确；③中，若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16， 则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，M ，N 为相互独立事件，故③正确；④中，若P (M )＝12，P (N )＝13，P (MN )＝16， 当M ，N 为相互独立事件时，P (MN )＝12×23＝13， 故④错误；⑤若P (M )＝12，P (N )＝13，P (M N )＝56， 则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，⑤错误．故正确命题的个数为3.。