巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。
经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。
下面就介绍一下常见题型和巧解方法。
1、求离心率的值（1）利用离心率公式ac e =，先求出c a ,，再求出e 值。
（2）利用双曲线离心率公式的变形： 2)(1a b a c e +==，先整体求出ab ，再求出e 值。
例1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=，由已知可得34=a b 解答：由已知可得34=a b ，再由2)(1a b a c e +==，可得35=e . （3）构造关于c a ,的齐次式，再转化成关于e 的一元二次方程，最后求出e 值，即“齐次化e ”。
例如：010222=-+⇒=-+e e a ac c例2 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。
解答：因为两条直线垂直，011)(2222=--⇒-=⋅=⇒-=-⋅e e a c c a b cb a b 所以215+=e （负舍） 2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。
（1）直接根据题意建立c b a ,,的不等关系求解e 的取值范围。
例3 若双曲线22221x y a b-=（0>>b a ），则双曲线离心率的取值范围是_________. 分析：注意到0>>b a 的条件 解答：），（21)(10102∈+=⇒>>⇒>>ab e a b b a（2）利用平面几何性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
例4 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上非顶点的一点，且212PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为__________.分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。
解答：因为⎪⎩⎪⎨⎧=-=aPF PF PF PF 222121a PF a PF 2,421==⇒，而c F F 221=，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a c a 622<<，所以31<<e 。
（3）利用圆锥曲线相关性质建立c a ,不等关系求解e 的取值范围。
例5 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线离心率e 的取值范围是__________. 分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。
解答：由⎪⎩⎪⎨⎧=-=aPF PF PF PF 242121可得322a PF =，又因为点P 在双曲线的右支上，a c PF -≥2，即3532≤=⇒-≥a c e a c a ，所以351≤<e . （4）运用数形结合思想建立,a c 不等关系求解e 的取值范围。
例6 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是______ 分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系 解答：由图象可知渐近线斜率360tan =≥ ab ，再由2)(12≥+==a b ac e 。
（5）运用函数思想求解e 的取值范围。
例7 设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是________. 分析：把离心率e 表示成关于a 的函数，然后求函数的值域解答：把e 或2e 表示成关于a 的函数，212)1(1222222++=++=a a a a a e ，然后用求函数值域的方法求解，)5,2(∈e 。
小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率e 的值或取值范围有很多种办法，求值不一定非要先求出c a ,的值，能够得到c b a ,,中某两者的关系即可；求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。
总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。
练习： （1）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )．A. 2B. 3 C ．2 D ．3解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，3)(12=+==a b a c e 答案：B（2）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x 解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，又离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C（3）双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )．A. 5 B ．2 C. 3 D. 2解：如图1，由l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，可得PF 1⊥PF 2，则|OP |＝12|F 1F 2|＝c ，设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，则 m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m 2＝c a m ＝c ，图3 形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．解：由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0， 即－1<e <2. 又e >1， 故1<e <2.答案：(1,2)（8）如图3，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，求C 的离心率.解：依题意，知直线F 1B 的方程为y ＝b c x ＋b ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b c x ＋b ，x a －y b ＝0，得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，x a ＋y b ＝0，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac c ＋a ，bc c ＋a ， 所以PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b . 所以PQ 的垂直平分线方程为y －c 2b ＝－c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2c b 2. 令y ＝0，得x ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2，所以c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＝3c . 所以a 2＝2b 2＝2c 2－2a 2，即3a 2＝2c 2. 所以e ＝62. 答案：62图4（9）双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1， 即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2. ∴双曲线的离心率为 2.答案： 2（10）如图4，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .求①双曲线的离心率e ；②菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD的面积S 2的比值S 1S 2. 解：①由题意可得a =b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.②设sin θ＝bb 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案：①1＋52 ；②2＋52。