2．3变量间的相关关系●三维目标1．知识与技能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系．2．过程与方法明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．3．情感、态度与价值观通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．●重点难点重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；(2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．难点：(1)变量之间相关关系的理解；(2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：1.【提示】散点图如下：2．施化肥量与水稻产量有关系吗？【提示】有关系．1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．2．散点图：将样本中几个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：1.【提示】2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？【提示】有．3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？【提示】可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． 3．最小二乘法求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．求回归方程若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则所求的回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中a ∧，b ∧为待定的参数，由最小二乘法得： ⎩⎪⎨⎪⎧b ∧＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1nx 2i－n x －2，a ∧＝y －b ∧x .b ∧是回归直线斜率，a ∧是回归直线在y 轴上的截距以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：(1)(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？【思路探究】涉及两个变量房屋面积与销售价格，以房屋面积为自变量，考察销售价格的变化趋势从而做出判断．【自主解答】(1)数据对应的散点图如图所示：(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．两个随机变量x和y相关关系的确定方法：1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断．3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．5个学生的数学和物理成绩如下表：【解】以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系，且是正相关．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程． 【思路探究】 【自主解答】 (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算：b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ∧＝y －b ∧x ＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回归直线方程为：y ∧＝0.668x ＋54.96.用公式求回归方程的一般步骤： (1)列表x i ，y i ，x i y i ； (2)计算x ，y，∑ni ＝1x 2i ，∑n i ＝1x i y i ； (3)代入公式计算b ∧、a ∧的值； (4)写出回归方程．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：(1)作出散点图，判断y 对x 是否线性相关，若线性相关，求线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^中的a ^，b ^； (2)估计使用年限为10年时的维修费用．【解】 (1)作出散点图，如图所示，由散点图可知y 对x 是线性相关的．制表如下：于是有b ^＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23，a ^＝y －－b ^x －＝5－1.23×4＝0.08. (2)回归直线方程是y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【思路探究】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ∧，a ∧的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的y 的值．【自主解答】 (1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ∧＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图．(2)求线性回归方程，注意运算的正确性．(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的几种对应数据如下表所示：(2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时应冶炼多少分钟．【解】 (1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关． (2)列表如下：设所求的回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧.b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝287 640－10×159.8×172265 448－10×159.82≈1.27，a ∧＝y －b ∧x ≈172－1.27×159.8≈－30.95， 即所求的回归直线方程为y ∧＝1.27x －30.95. (3)当x ＝160时，y ∧＝1.27×160－30.95≈172(分)， 即大约冶炼172分钟.数形结合在线性相关性中的应用(12分)下表数据是退水温度x (℃)对黄硐延长性y (%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的，且对于给定的x ，y 为正态变量，其方差与x 无关．(1)(2)指出x，y是否线性相关；(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；(4)估计退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性的情况．【思路点拨】根据所给数据画出散点图，然后可借助函数的思想分析．【规范解答】(1)散点图如图所示．4分(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关.5分(3)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．于是可得：b ∧＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2＝198 400－6×550×571 990 000－6×5502≈0.058 857，8分a ∧＝y －b ∧x ＝57－0.058 857×550＝24.628 65.9分 因此所求的线性回归方程为y ∧＝0.058 857x ＋24.628 65.10分(4)将x ＝1 000代入回归方程得y ∧＝0.058 857×1 000＋24.628 65＝83.486，即退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性大约是83.486%.12分1．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系．2．利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用．1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ∧，b ∧的值时，要先算出b ∧，然后才能算出a ∧.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，则x ＝x 0处的估计值为y ∧0＝b ∧x 0＋a ∧.由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用.1．下列变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．正方体的表面积与体积 B ．光照时间与果树产量C ．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D ．中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩 【解析】 A 、C 是函数关系，D 无相关关系． 【答案】 B2．设一个回归方程y ∧＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时 ( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位 【解析】 由b ＝1.2>0，故选A. 【答案】 A3．若施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ∧＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．【解析】 当x ＝80时，y ∧＝400＋250＝650. 【答案】 6504．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下表对应数据：(1)(2)判断y与x是否具有线性相关关系．【解】(1)散点图如下：(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关.一、选择题1．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是()【解析】A、B为函数关系，D无相关关系．【答案】 C2．已知x与y之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ∧＝bx ＋a 必过点( ) A ．(1,2) B ．(5,2) C ．(2,5)D ．(2.5,5)【解析】 线性回归方程一定过样本中心(x ，y )． 由x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝1＋3＋5＋7＋95＝5.故必过点(2,5)． 【答案】 C3．(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确． 【答案】 D4．两个相关变量满足如下关系：A.y ∧＝0.56x ＋997.4B.y ∧＝0.63x －231.2C.y ∧＝50.2x ＋501.4 D.y ∧＝60.4x ＋400.7【解析】 x ＝15(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15(1 003＋1 005＋1 010＋1 011＋1 014)＝1 008.6， 代入所给选项A 符合． 【答案】 A5．(2013·福建高考)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b^>b ′，a ^<a ′ C.b^<b ′，a ^>a ′ D.b^<b ′，a ^<a ′ 【解析】 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b^，a ^时， ∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′. 【答案】 C 二、填空题6．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x 的回归直线方程：y ∧＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 由于y ∧＝0.254x ＋0.321知，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元．【答案】 0.2547．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程中的b ＝－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．【解析】 样本中心点是(10,35.5)，则a ∧＝y －－b ∧ x －＝35.5－(－2)×10＝55.5， 故线性回归方程为y ∧＝－2x ＋55.5，将x ＝6代入得y ∧＝－2×6＋55.5＝43.5≈44. 【答案】 448．某公司的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y与x呈线性相关关系)：根据上表提供的数据得到回归方程y＝b x＋a中的b＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．【解析】x＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y＝15(30＋40＋60＋50＋70)＝50，由b∧＝6.5知，a∧＝y－b∧·x＝50－6.5×5＝17.5，∴y∧＝17.5＋6.5x，当y∧＝115时，解得x＝15.【答案】15三、解答题9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：(1)(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数) 【解】(1)散点图如图所示．(2)设y 与产量x 的线性回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧， x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9，b ∧＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝(x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4)－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2＝1110＝1.10，a ∧＝y －b ∧x ＝9－1.10×4＝4.60. ∴回归方程为：y ∧＝1.10x ＋4.60.10．高三(1)班的10名学生每周用于数学学习的时间x (h)与数学成绩y (分)之间有如下对应数据：) 【解】 列出下表，并用科学计算器进行有关计算．b ∧＝∑i ＝110x i y i －10x ·y∑i ＝110x 2i －10x 2＝545.4154.4≈3.53，a ∧＝y －b ∧x ＝74.9－3.53×17.4≈13.48，∴所求的回归方程是y ∧＝3.53x ＋13.48.11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ∧； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：对预处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2， b ∧＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5，a ∧＝y －b ∧x ＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ∧－257＝b ∧(x －2 008)＋a ∧＝6.5(x －2 008)＋3.2. 即y ∧＝6.5×(x －2 008)＋260.2.(2)利用所求得的回归方程，可预测2014年的粮食需求量为 6．5×(2 014－2 008)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．。