【压轴卷】九年级数学上期末试卷(带答案)一、选择题1.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A 、B 、C 三点,那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )A .MB .PC .QD .R2.下列智能手机的功能图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A .B .C .D .3.关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ,()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-,则k 的值( )A .0或2B .-2或2C .-2D .24.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象经过(0,1),(4,0),当该二次函数的自变量分别取x 1,x 2(0<x 1<x 2<4)时,对应的函数值是y 1,y 2,且y 1=y 2,设该函数图象的对称轴是x =m ,则m 的取值范围是( ) A .0<m <1B .1<m ≤2C .2<m <4D .0<m <45.某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c =0时,只抄对了a =1,b =﹣8,解出其中一个根是x =﹣1.他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数,则原方程的根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有一个根是x =1D .不存在实数根6.抛物线2y x 2=-+的对称轴为 A .x 2=B .x 0=C .y 2=D .y 0=7.如图,在方格纸中,随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )A .15B .25C .35D .458.下列函数中是二次函数的为( ) A .y =3x -1 B .y =3x 2-1 C .y =(x +1)2-x 2D .y =x 3+2x -39.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示,下列结论正确是( )A .0abc >B .20a b +<C .30a c +<D .230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根10.如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG ,AE ,FG 分别交射线CD 于点 PH ,连结 AH ,若 P 是 CH 的中点,则△APH 的周长为( )A .15B .18C .20D .2411.若20a ab -=(b ≠0),则aa b+=( ) A .0B .12 C .0或12D .1或 212.当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x ﹣m )2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为( ) A .74-B .3或3-C .2或3-D .2或3-或74-二、填空题13.如图,有6张扑克牌,从中任意抽取两张,点数和是偶数的概率是_____.14.设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根,则()()11a b --的值为_____. 15.若把一根长200cm 的铁丝分成两部分,分别围成两个正方形,则这两个正方形的面积的和最小值为_____.16.若直角三角形两边分别为6和8,则它内切圆的半径为_____. 17.已知二次函数,当x _______________时,随的增大而减小.18.如图,AB 是⊙O 的直径,∠AOE =78°,点C 、D 是弧BE 的三等分点,则∠COE =_____.19.二次函数22(1)3y x =+-上一动点(,)P x y ,当21x -<≤时,y 的取值范围是_____.20.已知扇形的面积为12πcm 2,半径为12cm ,则该扇形的圆心角是_______.三、解答题21.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千 克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元.经市场调查发现:日销售量y (千克)是销售单价x (元)的一次函数,且当x=60时 ,y=80;x=50时,y=100.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.(1)求出y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)求该公司销售该原料日获利w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式. (3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少元?22.已知关于x 的一元二次方程(a+c )x 2+2bx+(a ﹣c )=0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长.(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由; (3)如果△ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.23.我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”,本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对A 《三国演义》、B 《红楼梦》、C 《西游记》、D 《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查,随机调查了若干名学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图:(1)本次一共调查了_________名学生;(2)请将条形统计图补充完整;(3)某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍,请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.24.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD⊥AC,垂足为D点,直线OD与⊙O 相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接P A,PB,PC,且满足∠PCA =∠ABC(1)求证:P A=PC;(2)求证:P A是⊙O的切线;(3)若BC=8,32ABDF,求DE的长.25.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+2=0.(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个实数根;(2)若x1,x2是原方程的两根,且x12+x22=2,求m的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【解析】【分析】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,分别作AB,BC的垂直平分线即可得到答案.【详解】解:作AB的垂直平分线,作BC的垂直平分线,如图,它们都经过Q,所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.故选:C.【点睛】本题考查了垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心.这也常用来确定圆心的方法.2.C【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】A 、图形既不是轴对称图形是中心对称图形,B 、图形是轴对称图形,C 、图形是轴对称图形,也是中心对称轴图形,D 、图形是轴对称图形. 故选C . 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.3.D解析:D 【解析】 【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得,()21212124423x x x x x x +-+=--,利用韦达定理,()2142(2)3k k ----+=-,解得,k =±2,由题意可知△>0, 可得k =2符合题意. 【详解】解:由韦达定理,得:12x x +=k -1,122x x k +=-,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-,得:()21212423x x x x --+=-,即()21212124423x x x x x x +-+=--, 所以,()2142(2)3k k ----+=-, 化简,得:24k =, 解得:k =±2,因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根, 所以,△=()214(2)k k ---+=227k k +-〉0, k =-2不符合, 所以,k =2 故选:D.本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握并灵活运用是解题的关键.4.C解析:C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得. 【详解】解:当a >0时,抛物线开口向上,则点(0,1)的对称点为(x 0,1), ∴x 0>4,∴对称轴为x=m 中2<m <4, 故选C . 【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,画出草图更直观.5.A解析:A 【解析】 【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值,再解方程根据根的判别式分析即可. 【详解】∵x =﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c =0的根, 1+8﹣c =0,解得c =9, ∴原方程为x 2-8x +9=0,∵24b ac ∆=-=(﹣8)2-4×9>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选:A . 【点睛】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式,解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ,根的情况由24b ac ∆=-来判别,当24b ac ->0时,方程有两个不相等的实数根,当24b ac -=0时,方程有两个相等的实数根,当24b ac -<0时,方程没有实数根.6.B解析:B 【解析】 【分析】根据顶点式的坐标特点,直接写出对称轴即可. 【详解】解∵:抛物线y=-x 2+2是顶点式, ∴对称轴是直线x=0,即为y 轴. 故选:B . 【点睛】此题考查了二次函数的性质,二次函数y=a (x-h )2+k 的顶点坐标为(h ,k ),对称轴为直线x=h .7.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】解:根据题意,在方格纸中,随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑,共有5种等可能的结果,使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤,3种情况,因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为3355÷= 故选C8.B解析:B 【解析】A. y =3x −1是一次函数,故A 错误;B. y =3x 2−1是二次函数,故B 正确;C. y =(x +1)2−x 2不含二次项,故C 错误;D. y =x 3+2x −3是三次函数,故D 错误; 故选B.9.C解析:C 【解析】【分析】观察图象:开口向下得到a <0;对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号,则b >0;抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c >0,所以abc <0;由对称轴为x=2ba-=1,可得2a+b=0;当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c <0,结合b=-2a 可得 3a+c <0;观察图象可知抛物线的顶点为(1,3),可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根,据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象:开口向下得到a <0;对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号,则b >0;抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c >0,所以abc <0,故A 选项错误; ∵对称轴x=2ba-=1,∴b=-2a ,即2a+b=0,故B 选项错误; 当x=-1时, y=a-b+c <0,又∵b=-2a ,∴ 3a+c <0,故C 选项正确; ∵抛物线的顶点为(1,3),∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1,即方程有两个相等的实数根,故D 选项错误, 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象,当a >0,开口向上,函数有最小值,a <0,开口向下,函数有最大值;对称轴为直线x=2ba-,a 与b 同号,对称轴在y 轴的左侧,a 与b 异号,对称轴在y 轴的右侧;当c >0,抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方;当△=b 2-4ac >0,抛物线与x 轴有两个交点.10.C解析:C 【解析】 【分析】连结AC ,先由△AGH ≌△ADH 得到∠GHA =∠AHD ,进而得到∠AHD =∠HAP ,所以△AHP 是等腰三角形,所以PH =PA =PC ,所以∠HAC 是直角,再在Rt △ABC 中由勾股定理求出AC 的长,然后由△HAC ∽△ADC ,根据=求出AH 的长,再根据△HAC ∽△HDA 求出DH 的长,进而求得HP 和AP 的长,最后得到△APH 的周长. 【详解】∵P 是CH 的中点,PH =PC ,∵AH =AH ,AG =AD ,且AGH 与ADH 都是直角,∴△AGH ≌△ADH ,∴∠GHA =∠AHD ,又∵GHA =HAP ,∴∠AHD =∠HAP ,∴△AHP 是等腰三角形,∴PH =PA =PC ,∴∠HAC 是直角,在Rt △ABC 中,AC ==10,∵△HAC ∽△ADC ,∴=,∴AH ===7.5,又∵△HAC ∽△HAD ,=,∴DH =4.5,∴HP ==6.25,AP =HP =6.25,∴△APH 的周长=AP +PH +AH =6.25+6.25+7.5=20.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及相似三角形的性质,解题的关键是清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及会运用相似三角形线段成比例求出各边长的长.11.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】解:∵20a ab -= ()0b ≠, ∴a(a-b)=0, ∴a=0,b=a . 当a=0时,原式=0; 当b=a 时,原式=12, 故选C12.C解析:C 【解析】 【分析】根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可. 【详解】二次函数的对称轴为直线x=m ,①m <﹣2时,x=﹣2时二次函数有最大值, 此时﹣(﹣2﹣m )2+m 2+1=4,解得m=74-,与m <﹣2矛盾,故m 值不存在; ②当﹣2≤m≤1时,x=m 时,二次函数有最大值, 此时,m 2+1=4,解得m= ③当m >1时,x=1时二次函数有最大值, 此时,﹣(1﹣m )2+m 2+1=4, 解得m=2,综上所述,m 的值为2或﹣ 故选C .二、填空题13.【解析】【分析】列举出所有情况再找出点数和是偶数的情况根据概率公式求解即可【详解】解:从6张牌中任意抽两张可能的情况有:(410) (510) (610) (810) (910) (109) (4解析:715. 【解析】 【分析】列举出所有情况,再找出点数和是偶数的情况,根据概率公式求解即可. 【详解】解:从6张牌中任意抽两张可能的情况有: (4,10) (5,10) (6,10) (8,10) (9,10) (10,9) (4,9) (5,9) (6,9) (8,9) (9,8) (10,8) (4,8) (5,8) (6,8) (8,6) (9,6) (10,6) (4,6) (5,6) (6,5) (8,5) (9,5) (10,5) (4,5)(5,4)(6,4)(8,4)(9,4)(10,4)∴一共有30种情况,点数和为偶数的有14个, ∴点数和是偶数的概率是1473015=; 故答案为715. 【点睛】本题考查概率的概念和求法.解题的关键是找到所求情况数与总情况数,根据:概率=所求情况数与总情况数之比.14.-2017【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出将其代入中即可得出结论【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为:-2017【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键解析:-2017 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-,2019ab =-,将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论.【详解】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根, ∴1a b +=-,2019ab =-,∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-. 故答案为:-2017. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,牢记“两根之和等于b a -,两根之积等于c a ”是解题的关键. 15.1250cm2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和(200﹣x )cm 两部分则两个正方形的边长分别是cmcm 再列出二次函数求其最小值即可【详解】如图:设将铁丝分成xcm 和(200﹣x )cm 两部分列二次解析:1250cm 2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和(200﹣x )cm 两部分,则两个正方形的边长分别是4x cm ,2004x -cm ,再列出二次函数,求其最小值即可. 【详解】如图:设将铁丝分成xcm 和(200﹣x )cm 两部分,列二次函数得:y =(4x )2+(2004x -)2=18(x ﹣100)2+1250, 由于18>0,故其最小值为1250cm 2, 故答案为:1250cm 2.【点睛】本题考查二次函数的最值问题,解题的关键是根据题意正确列出二次函数.16.2或-1【解析】【分析】根据已知题意求第三边的长必须分类讨论即8是斜边或直角边的两种情况然后利用勾股定理求出另一边的长再根据内切圆半径公式求解即可【详解】若8是直角边则该三角形的斜边的长为:∴内切圆 解析:27-1【解析】【分析】根据已知题意,求第三边的长必须分类讨论,即8是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求出另一边的长,再根据内切圆半径公式求解即可.【详解】若8226+8,∴内切圆的半径为:6+810=22-;若8=1.故答案为2【点睛】本题考查了勾股定理,三角形的内切圆,以及分类讨论的数学思想,分类讨论是解答本题的关键. 17.<2(或x≤2)【解析】试题分析:对于开口向上的二次函数在对称轴的左边y 随x 的增大而减小在对称轴的右边y 随x 的增大而增大根据性质可得:当x <2时y 随x 的增大而减小考点:二次函数的性质解析:<2(或x≤2).【解析】试题分析:对于开口向上的二次函数,在对称轴的左边,y 随x 的增大而减小,在对称轴的右边,y 随x 的增大而增大.根据性质可得:当x <2时,y 随x 的增大而减小. 考点:二次函数的性质18.68°【解析】【分析】根据∠AOE 的度数求出劣弧的度数得到劣弧的度数根据圆心角弧弦的关系定理解答即可【详解】∵∠AOE=78°∴劣弧的度数为78°∵AB 是⊙O 的直径∴劣弧的度数为180°﹣78°=1解析:68°【解析】【分析】根据∠AOE 的度数求出劣弧¶AE的度数,得到劣弧¶BE 的度数,根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可.【详解】∵∠AOE =78°,∴劣弧¶AE的度数为78°. ∵AB 是⊙O 的直径,∴劣弧¶BE的度数为180°﹣78°=102°. ∵点C 、D 是弧BE 的三等分点,∴∠COE 23=⨯102°=68°. 故答案为:68°.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理,掌握在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等是解题的关键. 19.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴和顶点坐标再根据抛物线的性质以对称轴为界分情况求解即得答案【详解】解:∵抛物线的解析式是∴抛物线的对称轴是直线:顶点坐标是(-1-3)抛物线的开口向上当x<-1时 解析:35y -≤≤【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴和顶点坐标,再根据抛物线的性质以对称轴为界分情况求解即得答案.【详解】解:∵抛物线的解析式是22(1)3y x =+-,∴抛物线的对称轴是直线:1x =-,顶点坐标是(-1,-3),抛物线的开口向上,当x <-1时,y 随x 的增大而减小,当x >-1时,y 随x 的增大而增大,且当2x =-时,1y =-;当x =1时,y =5;∴当21x -<≤-时,31y -≤<-,当11x -<≤ 时,35y -<≤,∴当21x -<≤时,y 的取值范围是:35y -≤≤.故答案为:35y -≤≤.【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质,属于基本题型,熟练掌握抛物线的性质是解题关键. 20.30°【解析】设圆心角为n°由题意得:=12π解得:n=30故答案为30° 解析:30°【解析】设圆心角为n°,由题意得:212360n π⨯=12π, 解得:n=30,故答案为30°.三、解答题21.(1)y=-2x+200(30≤x≤60)(2)w=-2(x -65)2 +2000);(3)当销售单价为60元时,该公司日获利最大,为1950元【解析】【分析】(1)设出一次函数解析式,把相应数值代入即可.(2)根据利润计算公式列式即可;(3)进行配方求值即可.【详解】(1)设y=kx+b ,根据题意得806010050k b k b =+⎧⎨=+⎩解得:k 2b 200=-⎧⎨=⎩∴y=-2x+200(30≤x≤60)(2)W=(x -30)(-2x+200)-450=-2x 2+260x -6450=-2(x -65)2 +2000)(3)W =-2(x-65)2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时,该公司日获利最大,为1950元考点:二次函数的应用.22.(1) △ABC是等腰三角形;(2)△ABC是直角三角形;(3) x1=0,x2=﹣1.【解析】试题分析:(1)直接将x=﹣1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC 的形状;(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状;(3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.试题解析:(1)△ABC是等腰三角形;理由:∵x=﹣1是方程的根,∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0,∴a+c﹣2b+a﹣c=0,∴a﹣b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;(2)∵方程有两个相等的实数根,∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,∴4b2﹣4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形;(3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为:2ax2+2ax=0,∴x2+x=0,解得:x1=0,x2=﹣1.考点:一元二次方程的应用.23.(1)50;(2)见解析;(3)16.【解析】【分析】(1) 本次一共调查:15÷30%;(2)先求出B对应的人数为:50﹣16﹣15﹣7,再画图;(3)先列表,再计算概率.【详解】(1)本次一共调查:15÷30%=50(人);故答案为50;(2)B对应的人数为:50﹣16﹣15﹣7=12,如图所示:(3)列表:A B C DA AB AC ADB BA BC BDC CA CB CDD DA DB DC∴P(选中A、B)=212=16.【点睛】本题考核知识点:统计初步,概率.解题关键点:用列表法求概率.24.(1)详见解析;(2)详见解析;(3)DE=8.【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得AD=CD,得PD是AC的垂直平分线,可判断出P A=PC;(2)由PC=P A得出∠P AC=∠PCA,再判断出∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,再判断出∠PCA+∠CAB=90°,得出∠CAB+∠P AC=90°,即可得出结论;(2)根据AB和DF的比设AB=3a,DF=2a,先根据三角形中位线可得OD=4,从而得结论.【详解】(1)证明∵OD⊥AC,∴AD=CD,∴PD是AC的垂直平分线,∴P A=PC,(2)证明:由(1)知:P A=PC,∴∠P AC=∠PCA.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.又∵∠PCA=∠ABC,∴∠PCA+∠CAB=90°,∴∠CAB+∠P AC=90°,即AB⊥P A,∴P A是⊙O的切线;(3)解:∵AD=CD,OA=OB,∴OD∥BC,OD=12BC=182⨯=4,∵32 ABDF=,设AB=3a,DF=2a,∵AB=EF,∴DE=3a﹣2a=a,∴OD=4=32a﹣a,a=8,∴DE=8.【点睛】本题考查的是圆的综合,难度适中,需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.25.(1)详见解析;(2)m=﹣3或m=﹣1【解析】【分析】(1)根据根的判别式即可求出答案.(2)利用跟与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形,结合前面的等式即可解答.【详解】解:(1)证明:∵△=(m+3)2﹣4(m+2)=(m+1)2,∵无论m取何值,(m+1)2≥0,∴原方程总有两个实数根.(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=﹣(m+3),x1x2=m+2,∵x12+x22=2,∴(x1+x2)2﹣2x1x2=2,∴代入化简可得:m2+4m+3=0,解得:m=﹣3或m=﹣1【点睛】此题考查根与系数的关系,根的判别式,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.。