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相似三角形的应用举例
1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.
如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A.600m B.500m C.400m D.300m
北
环城路
曙
光
路
西安路
南京路
书店
八
一
街
400m
400m
300m
【答案】B
2. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.
如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A.600m B.500m C.400m D.300m
北
环城路
曙
光
路
西安路
南京路
书店
八
一
街
400m
400m
300m
【答案】B
3. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，
BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶
点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1) 求证：;AMHGADBC
(2) 求这个矩形EFGH的周长.
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【答案】
(1) 解：∵四边形EFGH为矩形
∴EF∥GH
∴∠AHG=∠ABC
又∵∠HAG=∠BAC
∴ △AHG∽△ABC ∴ ;AMHGADBC
（2）由（1）得;AMHGADBC设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x
可得4023030xx，解得，x=12 ， 2x=24
所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.
4. （2011上海，25，14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直
线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=1213．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系
式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
图1 图2 备用图
【答案】（1）∵∠ACB=90°，∴AC=22ABBC=225030=40．
∵S=12ABCP=12ACBC,
∴CP=ACBCAB=403050=24．
在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=1213，
∴1213CPCM．
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∴CM=1312CP=132412=26．
（2）由△APE∽△ACB，得PEAPBCAC，即3040PEx，∴PE=34x．
在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=1213，∴1213PEME．
∴EM=1312PE=133124x=1316x．
∴PM=PN=22MEPE=22133164xx=516x．
∵AP+PN+NB=50，∴x+516x+y =50．
∴y =215016x(0 < x < 32)．
（3）
第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。
本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：
①当点E在线段AC上时，
△AME∽△ENB，AMMEENNB．∵EM=EN，∴2EMAMNB．设AP=x，由（2）知EM=1316x，
AM=xPM=5111616xxx，NB
=215016x．
∴2131121(50)161616xxx
解得x1=22，x2=0（舍去）．
即AP=22．
② 当点E在线段BC上时，
根据外角定理，△ACE∽△EPM，∴125ACEPCEMP．∴CE=512AC=503．设AP=x，易得BE=5(50)3x，
∴CE=305(50)3x．∴305(50)3x=503．解得x=42．即AP=42．
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∴AP的长为22或42．
5. （2011四川绵阳25，14）
已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，
垂足为E,如图1.
(1)若BD是AC的中线，如图2，求BDCE的值；
(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求BDCE的值；
(3)结合（1)、（2)，请你推断BDCE的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BDCE的值能小于43吗？
若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.
D
B
C
A
E
B
D
C
A
E
D
B
C
A
E
【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=5x,∵△ABD∽△CDE, BDABCECD,可得CE=25x,
所以BDCE=52
（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x，AB=2x+x,由
勾股定理可知BD=（4+22）x² △ABD∽△CDE，121ABECADDE,∴EC=222x,
BD
CE
=2,
(3)由前面两步的结论可以看出，1BDCE≥,所以这样的点是存在的，D在AC边的五等分点和点A之间
6. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）
（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：QCPEBQDP．
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交
DE
于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
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②如图3，求证MN2=DM·EN．
【答案】（1）证明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴DP/BQ＝AP/AQ．
同理在△ACQ中，EP/CQ＝AP/AQ．
∴DP/BQ＝EP/CQ．
（2） 92．
（3）证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC．
∴DG/CF＝BG/EF，
∴DG·EF＝CF·BG
又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG
由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)
∴MN2＝DM·EN