课时跟踪检测(六十七) 离散型随机变量及其分布列(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．02．(2015·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于?n －m ?A 2mA 3n的是( ) A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 的值为( ) A ．1±336 －336＋3364．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an ?n ＋1?(n ＝1,2,3，4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( )5．(2015·厦门质检)设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( )6．若随机变量X 的分布列为则当P(X＜a)＝时，实数a的取值范围是( )A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2)二、填空题7．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤X≤x2)的值为________．8．设随机变量X的概率分布列为X1234P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.9．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其分布列如下：X123456P则丢失的两个数据x，y依次为________．10.(2015·信阳一模)如图所示，A，B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X, 则P(X≥8)＝____________.三、解答题11．(2015·沈阳模拟)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：围棋社舞蹈社拳击社男生51028女生1530m学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；(2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的分布列．12．甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为X ，求X 的分布列．B 卷：增分提能1．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ，已知P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值； (2)X 的分布列．2．(2015·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列．3．2014年8月22日是邓小平同志110周年诞辰，为纪念邓小平同志110周年诞辰，促进广安乃至四川旅游业进一步发展，国家旅游局把2014年“5.19”中国旅游日主会场放在四川广安．为迎接旅游日的到来，某旅行社组织了14人参加“四川旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：根据上表信息解答以下问题：(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；(2)从14人中任选2人，用X表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X的分布列．答案A 卷：夯基保分1．选C 设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，则成功率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，故应选C.2．选D 由超几何分布知P (X ＝2)＝?n －m ?A 2mA 3n . 3．选C 由分布列的性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q ＝32－336.4．选D ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 2＋a 6＋a 12＋a20＝1，∴a ＝54，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.5．选B 由分布列的性质得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋ P (X ＝3)＝m ×23＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝38m27＝1.∴m ＝2738.6．选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝，P (X ＜0)＝，P (X ＜1)＝，P (X ＜2)＝，则当P (X ＜a )＝时，实数a 的取值范围是(1,2]．7．解析：由分布列性质可有：P (x 1≤X ≤x 2)＝P (X ≤x 2)＋P (X ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)8．解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，p (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案：5129．解析：由于＋＋＋＋＋＋＋＝1，得10x ＋y ＝25，又因为x ，y 为正整数，故两个数据依次为2,5.答案：2,510．解析：法一：(直接法)：由已知得，X 的取值为7,8,9,10， ∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 12C 22C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴X 的概率分布列为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＝310＋25＋110＝45. 法二：(间接法)：由已知得，X 的取值为7,8,9,10， 故P (X ≥8)与P (X ＝7)是对立事件， 所以P (X ≥8)＝1－P (X ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.答案：4511．解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，∴628＋m ＝1820＋40＋28＋m，∴m ＝2.设A 为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”， 则P (A )＝C 528C 12C 630＝48145.(2)由题意可知：X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 628C 630＝92145，P (X ＝1)＝C 528C 12C 630＝48145，P (X ＝2)＝C 428C 22C 630＝5145＝129，X 的分布列为12．解：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ， 则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－233＋C 23⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1－P (A B )＝1－P (A )P (B ) ＝1－15×727＝128135.(2)由题知X 的可能取值是1,2.P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45， ∴则X 的分布列为B 卷：增分提能1．解：(1)由P (X ＝2)＝730，知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)． 解得n ＝7. (2)X ＝1,2,3,4，且P (X ＝1)C 17C 110＝710，P (X ＝2)＝C 13C 110×C 17C 19＝730，P (X ＝3)＝C 13C 110×C 12C 19×C 17C 18＝7120，P (X ＝4)＝C 13C 110×C 12C 19×C 11C 18×C 17C 17＝1120.∴X 的分布列为2．解：(1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)∵得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3. ∴Y 的可能取值为6,9,12,15则P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P ＝(Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19.∴Y 的分布列为3．解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为事件A ， 则P (A )＝C 35＋C 12C 15C 14＋C 13C 24C 314＝10＋40＋1814×26＝1791， 即3人答对题目个数之和为6的概率为1791.(2)依题意可知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 则P (X ＝0)＝C 23C 214＝37×13＝391，P (X ＝1)＝C 13C 12C 214＝67×13＝691，P (X ＝2)＝C 22＋C 13C 15C 214＝167×13＝1691， P (X ＝3)＝C 13C 14＋C 12C 15C 214＝227×13＝2291， P (X ＝4)＝C 25＋C 12C 14C 214＝187×13＝1891， P (X ＝5)＝C 15C 14C 214＝207×13＝2091，P (X ＝6)＝C 24C 214＝67×13＝691.从而X 的分布列为。