第1章 概率论的基本概念1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。

1.2 样本点 样本空间 随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。

样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。

必然事件在每次试验中必然发生。

➢ 随机试验的样本空间不一定唯一。

在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。

所以应从试验的目的出发确定样本空间。

样本空间的子集称为随机事件，简称事件。

在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。

1.3 事件的关系及运算（1）包含关系 B A ⊂，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ⊂且A B ⊂； （3）和事件（也叫并事件）B AC ⋃=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件）B A ABC ⋂==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件）A 、B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=⋃A A A A ,。

1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃,； （4）幂等律 A AA A A A ==⋃,；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ⋃==⋂=⋂=⋃,。

1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ；（3）若事件 ，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=⋃⋃⋃⋃)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。

1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ；（2）若事件n A A A ，，， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃ ；（3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。

特别地，若B A ⊂，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃。

1.7 古典概型 古典概率 设随机试验E 满足：（1）E 的样本空间Ω只有有限个样本点； （2）每个样本点的发生是等可能的， 则称此试验为古典概型或等可能概型。

古典概率中所包含的样本点总数样本空间所包含的样本点数Ω=A A P )(。

1.8 事件的独立性 伯努利概型若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。

若()()()C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ====)()()()()()()()()()(，则称事件A 、B 、C 相互独立。

若前三式成立，则称事件A 、B 、C 两两相互独立。

若事件A 与事件B 相互独立，则B A B A B A 与，与，与也相互独立。

设随机试验E 满足：（1）在相同条件下可重复进行n 次；（2）每次试验只有两个可能结果，A 发生或A 不发生，且每次A 发生的概率相同；（3）每次试验是相互独立的，则称这种试验为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

n 重伯努利试验中A 发生k 次的概率为)1;,,2,1,0()(=+==-q p n k q p C k P k n k k n n ，其中p A P =)(。

1.9 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （1）条件概率 0)()()()(>=A P A P AB P A B P ，； （2）乘法公式 0)()()()(>=A P A P A B P AB P ，；（3）全概率公式 ()()())()()()(2211n n B P B A P B P B A P B P B A P A P +++= ，其中),,2,1(0)(n i B P i =>，1B ，2B ，…，n B 是Ω的一个分割；（4）贝叶斯公式 ∑===ni i i i i i i B P B A P B P B A P A P AB P A B P 1)()()()()()()(（n i ,,2,1 =）第2章 随机变量及其分布2.1 随机变量 分布函数随机变量X 是样本点的实值函数，定义域为样本空间，值域为实数。

分布函数为)()(x X P x F ≤=，其中x 为任意实数。

2.2 分布函数的性质（1）1)(0≤≤x F ，且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim =+∞→x F x ；（2）)(x F 单调不减，即若21x x <，则()()21x F x F ≤； （3）)(x F 右连续，即)()0(x F x F =+。

2.3 离散型随机变量离散型随机变量X 的分布律为),3,2,1()( ===k p x X P k k 。

也可以用表格表示也可以用矩阵表示，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛ n n p p p x x x X 2121～ 分布律的性质（1）0≥k p （ ,3,2,1=k ）； （2）11=∑∞=k k p 。

2.4 几种常见的离散型随机变量的分布（1）（0-1）分布（也叫两点分布） ),1(p B X ～的分布律为)1,0()1()(1=-==-k p p k X P k k ，其中10<<p 为参数。

（2）二项分布 ),(p n B X ～的分布律为),,12,0()1()(n k p p C k X P k n kk n =-==-，其中10<<p 为参数。

（3）泊松分布 )(λP X ～ 或)(λπ～X 的分布律为),12,0()( ===-k e k k X P kλλ！，其中0>λ为参数。

2.5 连续型随机变量连续型随机变量X 的分布函数为⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(，其中0)(≥x f 且)(x f 可积，)(x f 称为X 的概率密度。

)(x f 的性质：（1）0)(≥x f ； （2）⎰+∞∞-=1)(dx x f ；（3）⎰-==≤<baa Fb F dx x f b X a P )()()()(；（4）)(0)(为常数a a X P ==；（5）当)(x f 在点x 处连续时，)()(x F x f '=。

2.6 几种常见的连续型随机变量的分布 （1）均匀分布 ),(b a U X ～X 的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他，01)(b x a a b x fX 的分布函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(（2）指数分布 )(λE X ～X 的概率密度 ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ，其中0>λ为常数。

X 的分布函数 ⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ （3）正态分布 ),(2σμN X ～X 的概率密度 ()22221)(σμσπ--=x ex f （+∞<<∞-x ）其中μ，0>σ为常数。

X 的分布函数 ()dt ex F xt ⎰∞---=22221)(σμσπ（4）标准正态分布 )1,0(N X ～X 的概率密度 2221)(x ex -=πϕ（）X 的分布函数 dt e x xt ⎰∞--=Φ2221)(π若),(2σμN X ～，则)1,0(N X Y ～σμ-=，且有计算公式)()()()()(σμσμ-Φ--Φ=-=≤<a b a F b F b X a P 。

2.7 随机变量的函数的分布（1）离散型随机变量的函数的分布已知X 的分布律为),3,2,1()( ===k p x X P k k ，)(X g Y =的分布律有以下两种情形：①当)(k k x g y =的值互不相等时，则),2,1()()( =====k p x X P y Y P k k k②当)(k k x g y =的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出)(X g Y =的分布律。

（2）连续型随机变量的函数的分布已知X 的概率密度为)(x f X ，且)(x g y =有连续的导函数，求)(X g Y =的概率密度，通常使用以下两种方法： ①分布函数法：先求Y 的分布函数⎰≤=≤=≤=yx g XY dx x fy X g P y Y P y F )()())(()()(，再对y 求导数，可得Y 的概率密度)()(y F y f Y Y '=。

②公式法：如果)(x g y =严格单调，其反函数)(y h 有连续的导数，则)(X g Y =也是连续型随机变量，且其概率密度为[]⎩⎨⎧<<'=其他,0,)()()(βαy y h y h f y f X Y其中(){}∞+-∞=g g ),(m in α，(){}∞+-∞=g g ),(m ax β（此时)(x f 在+∞<<∞-x 上不为0）；或(){}b g a g ),(m in =α，(){}b g a g ),(m ax =β（此时)(x f 在[]b a ,之外全为0.）第3章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量 联合分布函数设X 、Y 是两个随机变量，称有序数组()Y X ,为二维随机变量。

联合分布函数为),(),(y Y x X P y x F ≤≤=，其中x ，y 为任意实数。

3.2 联合分布函数的性质（1）1),(0≤≤y x F ，且0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F x F y F ，1),(=+∞+∞f 。

（2）),(y x F 对每一个变量单调不减，即对任意固定的y ，当21x x <时，),(),(21y x F y x F ≤；对任意固定的x ，当21y y <时，),(),(21y x F y x F ≤。