3.2 m序列特性
证明思路：注意到序列 a b 与原m序列平移等价 当序列a与序列b是（0，0）和（1，1）时在和序列中出现0，
序列a与序列b是（0，1）和（1，0）时在和序列中出现1，
设（1，1）对有x1; （1，0）对有x2; （0，1）对有x3； （0，0）对有x4；
x1+x2=a序列中1的个数=(p+1)/2 x1+x3=b序列中1的个数=(p+1)/2 x1+x4=a+b序列中0的个数=(p-1)/2 x3+x4=a序列中0的个数=(p-1)/2
状态图中含有p个状态
依次取出相应位置分量即得m序列。在统计0、 1频次时，我们可以不管其排列顺序，将状态按高 位是0、1重排，即得性质1。
3.2 m序列特性
2、游程分布
若干个信号连续出现的现象称游程。
对给定的m序列
a(aaa) 012
若存在一段序列： 0110 两端为0中间连续k个1，称长为k的1游程。 1001两端为1中间连续k个0，称长为k的0游程。
3.2 m序列特性
一 统计特性
1、“0、1”信号频次 性质1 ：r级m序列的一个周期中，1出现 2r1 个，
0出现 2r1 1 个。3.2m序列特性证明思路( a r1
ar2 a0 )
( ar
a r1 a1 )
( a r1
ar a2 )
初态 a r 1,a r 2, ,a 0
( a2r r3 a2r r4 a2r 2 )
C a () 2 r 1 1 2 ir 0 2 ( 1 )a i a i 1 /( 2 1 r 1 ),,
若 是 2 r 1 的 倍 数 ; 其 它 .
3.2 m序列特性
四 m序列的采样特性
设 a {ai}i是0 周期为2n-1的m序列，k为正整数，t 为非负整数，则称序列
长度为1的0、1游程各有2个。
3.2 m序列特性
二 移加特性
性质3(1)：若 a 是由r级本原线性移存器产生的m 序列, 则 a L (t)(a)(t0m2 o r d 1)是与 a 平移等价 的m序列。
注：其中L(t)(a)表示序列a左移t位所得序列。
从定义出发证明该序列满足a 序列的线性递
推式。
3.2 m序列特性
性质3(2)：若 a 和 b 是由r 次本原多项式g(x)产生
的两条m序列，则存在正整数t，使得 b L(t) (a) 。
证明思路： 2 r 1个不同的初态产生的m序列的集合(由g(x)产生) =将 a 平移 2 r 1 次产生的m序列组成的集合。
3.2 m序列特性
性质4：周期为p的m序列a，左移 t (t0mo2rd1)位 得到序列b，将a与 b按位对齐， 则在一个周期段中，序列a与序列b （0，0）的对有(p-3)/4对； （1，1）的对有(p+1)/4对； （1、0）的对有(p+1)/4对； （0、1）的对有(p+1)/4对。
3.2 m序列特性
三 自相关特性
定义1 设a和b是两条周期为p的二元序列，
则称函数
Ca,b
1 p
p i1
(1)ai
bi
为序列a和b的互相关系数。
定义2 设a是周期为p的二元序列，则
称函数
Ca(
)1 p (1)aiai pi1
为周期序列a的自相关函数。
3.2 m序列特性
性质5：二元域上的r级m序列的自相关函数满足：
a(k,t) {aikt}i 0
为序列a的以t为起点的k采样序列，并称k为采 样距。
3.2 m序列特性
定理：设a是周期为2n-1的m序列，k为正整数。则 (1) 当gcd(k,2n-1)＝1时，序列a的k采样序列都是周
期为2n-1的m序列; (2) 当存在非负整数d：0≤d≤n,使k＝2d时，序列a的
密码学
第三章 序列密码
➢ 移位寄存器基础 ➢ m序列特性 ➢ 序列密码编码技术 ➢ 前馈函数的设计准则 ➢ 典型序列密码算法
3.2 m序列特性
➢ m序列统计特性 ➢ m序列移加特性 ➢ m序列的还原 ➢ 随机性的描述
3.2 m序列特性
m 序列：能达到最长周期的线性移存器序列。 最长周期: 2r ，1r为移存器级数。
3.2 m序列特性
条件1: 已知m序列或m序列的若干时刻的信号, 并已知线性递推式 a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 c r a n r ,目的 是求解m序列的初态.
3.2 m序列特性
性质2：在r级m序列的一个周期中， （1）长度为r的1游程有1个； （2）长度为r-1的0游程有1个； （3）长度为 k(1kr2)的0、1游程各有 2r2k 个； （4）游程总数为 2r1 个，且0、1游程各占一半。
长度为1的1游程数：2r3 长度为1的0游程数：2r3 长度为1的游程总数：2r2 占游程总数的1/2
k采样序列都与序列a平移等价。 (3) 当gcd(k,2n-1)≠1时，序列a的k采样序列仍是线
性递归序列，但周期可能<2n-1。
推论：利用采样方法可采出所有的n次本原多项式, 共 (2n 1)/ n 个。
3.2 m序列特性
五 m序列的还原
一条线性递归序列由: (1) 线性递推式(包括级数n); (2) 初始信号 两个因素决定。 这两个因素都可设置为密钥的一部分。 因 此 ,m 序 列 的 还 原 问 题 就 是 在 已 知 m 序 列 或仅已知其部分信号的条件下,求解未知因素的 问题。
同理长度为2的游程占游程总数的1/4 长度为k的游程占游程总数的1/2k
3.2 m序列特性
例如对4级m序列100010011010111……的一个周
期
11 1 1 00 0
0
1
101 1 0 0
长度为4的1游程，1个；长度为4的0游程，0个；
长度为3的1游程，0个；长度为3的0游程，1个；
长度为2的0、1游程各有1个；
3.2 m序列特性
设本原多项式 f(x)x4x31
设初态为0001
0001, 1000, 0100, 0010, 1001, 1100, 0110, 1011, 0101, 1010, 1101, 1110, 1111, 0111, 0011, 0001
该移存器产生的是4级m序列100010011010111……及 一个全零序列，序列的周期是15，除了零状态以外 每一个状态恰好出现一次。