• = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1)
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
• 技能：
• 分组组合；添项、拆项；配方法。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0
• 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 >
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
• 解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _
x2
•
= (2x4 - 2x3 )- (x2 -1)
•
= 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1)
• = (x－1) [2x3 - (x +1) ]
• = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)]
练习
1、若m f 0,比较mm与2m的大小
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
（1） 1 1 ab
（2）lg( a 2 1 ) lg( b 2 1 )
a2
（3）
b2
（4） 2a 2b
• 主要内容
小结
• 基本理论:
• a - b > 0 <=> a > b
• a - b = 0 <=> a = b
2x3+x2
• 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 =
2x3+x2
• 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x> 2x3+x2
分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
2. 基本理论
0
Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数
轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ
Ｂ
Ｂ
Ａ
a a<b
b
x
b
a>b
a
x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是
A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b.
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
用数学式子表示为:
a f b a b f 0; a b a b 0;
a p b a b p 0.
a f b a b f 0; a b a b 0; a p b a b p 0.
2．如果x 0,比较( x 1)2 与( x 1)2 的大小．
3．已知a 0，比较 (a2 2a 1)(a2 2a 1) 与(a2 a 1)(a2 a 1) 的大小．
第一讲 不等式和 绝对值不等式
一 不等式
1 不等式的基本性质
(第一课时)
• 观察以下四个不等式：
• a+2 > a+1----------------(1) • a+3>3a-------------------(2) • 3x+1<2x+6--------------(3) • x<a------------------------(4)
• 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)1618与1816; (2)
1
与2 n (n N* )
n1 n
（3）比较aa bb和ab ba的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法 比较两个实数的大小？
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比 较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数 比较大小提供了“标杆”。
• 同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的
左边都小于右边（不等号的方向相同）.
• 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个
的左边小于右边（不等号的方向相反）.
• 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
• 例2、比较
练习题
• 1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4
的大小.
• 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小
• a - b < 0 <=> a < b
• 基本理论四大应用之一：比较实数的大小.
• 一般步骤：
• 作差－变形－判断符号—下结论。
• 变形是关键：
• 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。
• 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几
个平方和；几个因式的积。
作业
一、课本 P10 2 二、补充 1．比较 (x 5)(x 7)与(x 6)2 的大小．
