当f(t)为实偶函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
3. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t t0 ) F F ( j) e jt0
式中t0为任意实数
证明： F[ f (t t0 )] = f (t t0 )ejt dt
令x = tt0，则dx = dt，代入上式可得
F[
f
(t

t0
)]
=


f (x)ej(t0 x)dx
= F ( j) e jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
j)
=
A


Sa(
)
2
应用频移特性可得
F[ f (t) cos 0t]
=
1 2
F[
j(

0
)]

1 2
F[
j(

0
)]
= A {Sa ( 0 ) Sa ( 0 ) }22 Nhomakorabea2
例 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相
乘后信号的频谱函数。
解:
f (t)
例 试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频
谱函数F1(j)。
f1 (t )
A

f (t)
A
0
T
t
0
t
2
2
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图，
其对应的频谱函数为
F( j) = A Sa( )
2
因为 f1(t) = f (t T ) 故，由延时特性可得
F1 ( j) = F ( j)e jT
证明：
F[ f1(t) f2 (t)] = [ f1( ) f2 (t )d ]ejt dt = f1( )[ f2 (t )ejt dt]d
= f1( )F2 ( j)ej d = F1 ( j) F2 ( j)
|F(j)| = |F(j)| ， () = ()
FR ( j) = FR ( j), FI ( j) = FI ( j)
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j)
同理
F[
f
(t) sin 0t] =
1 2j
F[
f
(t)e j0t
]
1 2j
F[
f
(t)e j0t
]
=

j 2
F[
j(

0
)]

j 2
F[ j(

0
)]
例 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相
乘后信号的频谱函数。
解: 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为
F
(
=


f (t)e j(0 )t dt
= F[ j( 0 )]
6. 频移特性（调制定理）
F[ f
(t) cos 0t]
=
1 2
F[
f
(t)e j0t
]
1 2
F[ f
(t )e j0t
]
=
1 2
F[ j(

0
)]

1 2
F[ j(

0
)]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j) F(j)为复数，可以表示为
F ( j) = F ( j) e j() = FR ( j) jFI ( j) 当f(t)为实函数时，有



4π 2π 2π 4π


f () A

0
2
2
6. 频移特性（调制定理）
若
f (t) F F ( j)
则
f (t) e j0t F F[ j( 0 )]
式中0为任意实数
证明：由傅里叶变换定义有
F[ f (t) e j0t ] = f (t)e j0t ejt dt
= A Sa( )ejT
2
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F 1 F ( j )
aa
证明:
F[
f
(at)]
=


f (at)ejt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
F[ f (at)] =
1 a


t
44

0


F ( ) A
2 0 2


1 F(1)
22
1 A
2
4
0
4




5. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf ()
F(j) A
0
t
2
2
F(jt)/2
A
t
4π 2π 2π 4π
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
j x
f (x)e a dx =
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
4. 展缩特性 若f (t) F F( j) 则f (at) F 1 F( j ) aa
f (1 t) 2
2F (2 ) 2 A
t

0

f (t)


t

2
2
f (2t)
A

A
F ( j)
A
/2 0
/2
t
f (t) cos0t
A
/2
/2
t
0

0
F[ f (t) cos(0t)]
A/2

0
0
7. 时域卷积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
则f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)