第三章 几何光学的基本原理1 证明反射定律符合费马原理。

证明：设平面Ⅰ为两种介质的分界面，光线从A 点射向界面经反射B 点，在分界面上的入射点为任意的C 点；折射率分别为：n 1、n 2。

（1）过A 、B 两点做界面的垂直平面Ⅱ，两平面相交为直线X 轴，过C 点做X 轴的垂线，交X 轴于C ＇点，连接ACC ＇、BCC ＇得到两个直角三角形，其中：AC 、BC 为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A 点经C 点传播到B 点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C ＇点，即证明了入射光线A C ＇和反射光线B C ＇共面，并与分界面垂直。

（2）设A 点的坐标为（x 1，y 1），B 点坐标为（x 2，y 2），C 点坐标为（x ，0），入射角为θ，反射角为θ＇，则光线由A 传播到B 的光程：))()((222221211y x x y x x n +-++-=∆若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：0)()(2222221211=+---+--=∆yx x x x yx x x x dxd从图中得到：21211)(sin yx x x x +--=θ 22222)(sin yx x x x +--='θ也即：sin θ=sin θ＇，说明入射角等于反射角，命题得证。

2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。

由此导出薄透镜的物象公式。

解：3 眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d 为30cm ，求PQ 的象P ＇Q ＇与物体之间的距离d 2。

解：方法一P ＇Q ＇是经过两个平面折射所形成的象 （1）PQ 经玻璃板前表面折射成象：设PQ 到前表面的距离为s 1，n=1、n ＇=1.5由平面折射成象的公式：11s n n s '=' 得到：1123s s ='（2）PQ 经玻璃板前表面折射成象： 从图中得到：s 2=s 1+d 、n=1.5、n ＇=1根据：22s nn s '='解出最后形成的象P ＇Q ＇到玻璃板后表面的距离：d s s 3212+='物PQ 到后表面的距离：s=s 1+d物PQ 与象P ＇Q ＇之间的距离d 2：d 2 = s 2＇-s =（321-）d=10cm 方法二：参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。

方法三：直接应用书中例题的结论：d 2 =d （1-1/n ）即得。

4 玻璃棱镜的折射角A 为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：（1）根据公式：2sin2sin0A An +=θ代入数据：A=600，n=1.6解出最小偏向角：θ0= 46016＇（2）因：A i -=102θ 则入射角：53352/)(001'=+=A i θ （3）若能使光线从A 角两侧透过棱镜，则出射角i 1＇=900 有：n sini 2＇= 1 sin900 = 1 解出：i 2＇=38.680 从图中得到：i 2 + i 2＇= A 得到：i 2 =21.320 又有：sini 1 = nsini 2 解出最小入射角：i 1 =35034＇5 题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。

白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变θ1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r ，求证：如果sin θ1=n/2，则θ2=θ1，且光束i 与r 相互垂直。

解：当光线以θ1角在A 点入射时，设折射角为α，根据折射定律有：sin θ1 = nsin α 因：sin θ1 = n/2 计算得到：α= 300 在C 点的入射角为β，从图中可看出：β= 300有：sin θ2 = nsin β 得到：sin θ2 = n/2因：sin θ1 = sin θ2 = n/2 所以：θ1 = θ2在三角形ADE 中，∠ADE=1800 -θ1 -（900 -θ2）= 900 说明光束i 与r 相互垂直。

6 高为5cm 物体放在距凹面镜顶点12cm ，凹面镜的焦距是10cm ，求象的位置及高度，并作光路图。

解：已知：s=-12cm f ＇=-10cm根据：f ss '=+'111解出：s ＇= -60cm 因：ss y y '-='=β 解得：y ＇= -25cm7 一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚象，求：（1）此镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：已知：y=5cm 、s=-10cm 、 y ＇=1cm因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。

根据：51='-='=ss yy βcm cm s s 2)10(5151=--=-='代入：rss 211=+'解出：r=5cm因r=5cm > 0 ，所以是凸面镜。

8 某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。

若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm ，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？解：已知：凸面镜成象时的物距： s=-40cm 、焦距：f ＇=10cm由：f ss '=+'111解出凸面镜成象的象距：s ＇=8cm 此象到眼睛的距离：b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重合在一起，则玻璃板应放在P 与P ＇的中间，即玻璃板到眼睛的距离：d=b/2=24cm9 物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d ，折射率为n ，试证明：放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d （n-1）/n 的一段距离的效果相同。

解:设物体到凹面镜的距离s ，当把玻璃板放入后，物体首先经过玻璃板折射成象P1，再经过凹面镜反射成象P2，P1即为凹面镜的物，P1相对P 点移动的距离经前面的证明知道为d （n-1）/n ，也即放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d （n-1）/n 的一段距离的效果相同。

10 欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成象在右半球面的顶点处，问该透明球体的折射率应为多少？解：此问题是单球面的折射成象，根据题意有：物距：s=-∞、物空间：n=1设象空间球体折射率为n ，球面半径为R由：rn n sn s n -'=-'' 得到：)1(2-'='n n从而解出透明球体的折射率：2='n11 有一折射率为1.5、半径为4cm 的玻璃球，物体在距球表面6cm 处，求：（1）从物体所成的象到球心之间的距离；（2）求象的横向放大率。

解：物体经玻璃球的左、右球面两次成象。

左球面成象：n 1=1、 n 1＇=1.5、 r 1=-4cm 、s 1=-6cm由：1111111r n n s n s n -'=-''解得左球面成象的象距：s 1＇=-36cm ，象在P 点。

横向放大率：411111=''=n n s s β 右半球面成象：n 2=1.5、 n 2＇=1、 r 2= 4cm 、s 2=-44cm再由：2222222r n n s n s n -'=-''解出第二次成的象P ＇到O 2点的距离：s 2＇=11cm 横向放大率：8322222-=''=n n s s β 最后所成的象到球心之间的距离：d= s 2＇+ r =（11+4）cm = 15cm 象的横向放大率：5.121-==βββ12 一个折射率为1.53、直径为20cm 的玻璃球内有两个小气泡，看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在表面与球心连线的中点。

求两个气泡的实际位置。

解：（1）看去恰好在球心的气泡n 1=1.53、 n 1＇=1、 r 1=-10cm 、s 1＇=-10cm由：1111111r n n s n s n -'=-''解得象对应的物距：s 1 =-10cm ，说明气泡在球心处。

图A（2）好象在表面与球心连线中点的气泡n 2=1.53、 n 2＇=1、 r 2=-10cm 、s 2=-5cm再由：2222222r n n s n s n -'=-''解得象距：s 2 =- 6.047cm气泡到球心的距离:d =10 cm - 6.047cm = 3.953 cm 图B13 直径为1m 的球形玻璃鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。

解: n =1.33、 n ＇=1,设球面曲率半径为r,象距:s ＇=r由：rn n sn s n -'=-''解得象对应的物距：s = r ，说明鱼在缸的中心处。

横向放大率：33.1=''=n ns s β 是一个正立放大的虚象.14 玻璃棒一端成半球形，曲率半径为2cm ，将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm 处的水中有一物体，应用计算法和作图法求象的位置及横向放大率。

解：已知：n =1.33、 n ＇=1.5、r=2cm 、s=-8cm根据：rn n sn s n -'=-''解出：s ＇=18.5cm或由： r nn n f -''=' r nn n f -''='计算得到物方、象方焦距：cm f 6.17=' cm f 6.15-= 由：1=+''sfs f 解得象距：s ＇=18.5cm 横向放大率：2≈''=n ns s β 15 有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm 。

一物点在主轴上距镜20cm 处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求象点的位置。

设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。

解：因透镜放在同一种介质中，所以物方和象方焦距的绝对值相等。

已知：n 2=1.33 n 1 =1. 5（1）凸透镜：两表面曲率半径：r 1=10cm 、r 2=-10cm 、物距：s=-20cm 得到：cm r r n n n f f 39)11)((21121=--=-='由：f s s '=-'111 解得象距为：s ＇=-41cm （2）凹透镜：两表面曲率半径：r 1=-10cm 、r 2=10cm 、物距：s=-20cm 得到：cm r r n n n f f 39)11)((21121-=--=-='由：f s s '=-'111 解得象距为：s ＇=-13.2cm16 一凸透镜在空气中的焦距为40cm ，在水中的焦距为136.8cm ，问此透镜的折射率是多少?设水的折射率为1.33。