令 z x i y，则由 z 1 z 0.4 得Cassini卵形线 的标准方程 1 2 1 2 1 2 1 4 2 2 2 4 [( x ) y ] 2( ) [( x ) y ] (0.63) ( ) 2 2 2 2 其中心在 0.5，左端点 (0.3, 0)， 右端点 (1.3, 0)， 最高点 (0.2, 0.4), (0.8, 0.4)；最低点 (0.5, 0.38)。 作图：
2 2 p1 ， p2 1 1
例 已知实对称矩阵A和正定矩阵B分别为 0 2 1 1 A ， B ， 2 0 1 4 求B-正交矩阵Q使得 Q T AQ 为对角矩阵。 解 先求解广义特征值问题 Ax Bx。 2 det(B A) 2 4
32 4 4 ( 2)(3 2) 2 1 2， 2 广义特征值为 3 对应的广义特征向量分别为
解 AT的三个盖尔圆为： G1 : z 20 10，G 2 : z 10 4，G3 : z 3
作图：
G1 G3
0
G2
10 20
取 1 2 1, 3 0.5， D diag(1, 1, 0.5)，则 20 2 4 1 T B D A D 3 10 0.5 2 4 0 B的三个盖尔圆为： ~ ~ ~ G1 : z 20 6，G 2 : z 10 3.5，G 3 : z 6
作图：
G2
取 1 0.5, 2 1, 3 1 ，
D diag( 0.5, 1, 1) 9 2 2 1 则 B D AD 0.5 i 1 0.5 1 3
i 0 3
G3
9
G1
B的三个盖尔圆为： ~ ~ ~ G1 : z 9 4， G 2 : z i 1.5，G3 : z 3 1.5 作图：
0 1 2 3
1 0.8 的特征值分布区域。 例 试估计矩阵 A 0.5 0
解 A的两个盖尔圆为：
G1 : z 1 0.8，
作图：
G 2 : z 0.5
G1 G2
0 0.5 1.0
A的一个Cassini卵形为： O12 : z 1 z 0.8 0.5 0.4
由于A是实矩阵，所以 3(3 1) Im( ) 0.2 3 0.2 0.3464 2 即A的特征值在虚轴上区间 (0.3464 i, 0.3464 i) 之内。
实际计算可求得A的特征值为
0, 0.3 i, 0.3 i
估计的效果较好。
§2 特征值的包含区域
1 1 2 1 2 4 4 1 1 2 i 0 1 4 4 例 估计矩阵 A 1 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 2 i 4 2
G4
2i
G2
~ G2
G3 ~
-2 -1
i 0 -i -2i
1
G3
~ 2 1G
G1
可见A的四个特征值位于 ~ ~ 四个孤立圆盘 G1， G 2， G3， G4 中，
~ G4
且各圆盘中仅有A的一个特征值。
0.11 0.02 1 例 试估计矩阵 A 0.02 0.5 0.01 的特征值 0.01 0.14 0.9 分布范围，并适当选择一组正数， 使A的三个盖尔圆 互不相交。
例 设矩阵 A (aij )nn (n 1) 满足
aii 0，
aij aii
j 1 j i
n
(i 1,2,, n)
应用Gerschgorin定理证明A的特征值的实部小于零。 证 因为 n
z aii aij aii
j 1 j i
(i 1,2,, n)
~ G2
0
G2
~ G1
i
~ G G3 3
3
G1
9
~ ~ 综合考虑知，在G1， G 2， G3 中各有A的一个特征值。
0 1 0.1 1 10 0 例 应用盖尔定理隔离 A 0.1 0 2 1 1 0
1 1 0 3
的特征值(要求画图表示)，并利用实矩阵特征值 的性质改进所得结果。 解 A的四个盖尔圆为 G1 : z 2.1 G1 G 2 : z 10 2 G3 G3 : z 2 0.1 -2 0 G4 : z 3 2
~ G2
0
G2
G3
0.5
~ ~ G G3 G1 1
1.0
~ ~ 在G 综合考虑知， G 2， G3中各有A的一个特征值。 1，
9 1 1 例 试分离矩阵 A 1 i 1 的特征值。 1 1 3 解 A的三个盖尔圆为：
G1 : z 9 2，G 2 : z i 2，G3 : z 3 2
解 A的三个盖尔圆为 G1 : z 1 0.13，G 2 : z 0.5 0.03，G3 : z 0.9 0.15 作图:
G2
0.5
G3
1.0
G1
0
取 1 1, 2 0.1, 3 1 ， D diag(1, 0.1, 1)，则 0.011 0.02 1 1 0.5 0.1 B D AD 0.2 0.01 0.014 0.9 B的三个盖尔圆为： ~ ~ ~ G1 : z 1 0.031，G 2 : z 0.5 0.3， G3 : z 0.9 0.024
的特征值范围。 解 A的四个盖尔圆为
2i
G2 G1
1
1 G1 : z 2 1 ，G 2 : z 1 2 i 2 5 5 G3 : z 1 ， G4 : z 2 2i 4 4
G3
-2 -1 0
i
2
G4
-i -2i
画在复平面上如图： 于是A的全部特征值在这四个 盖尔圆的并集中。
作图：
~ G3
0
G1
G3
~G G2 2
10
~ G1
20
Hale Waihona Puke ~ ~ 它们已分离，故在 G G 2， G3中各有A的一个特征值。 1，
20 1 2 例 隔离矩阵 A 6 9 9 的特征值(要求 1 1 i 画图表示)。 解 A的三个盖尔圆为
G1 : z 20 3，G2 : z 9 15，G3 : z i 2
G4
3
G2
10
作图：
取 D diag(1, 0.4, 1, 1)，则
0 0.4 0.1 1 2.5 10 0 2.5 1 B D AD 0.1 0 2 0 1 0.4 0 3
B的四个盖尔圆为 ~ G1 : z 1.5 ~ G 2 : z 10 5 G 1 ~ ~ G1 ~ G 3 G 3 : z 2 0.1 G -23 0 ~ G 4 : z 3 1.4
2 解 det(B A) 2 4 32 4 4 ( 2)(3 2)
2 1 2， 2 广义特征值为 3 求解 (2 B A) x 0 得对应 1 2 的广义特征向量为 2 p1 1 2 全部广义特征向量为 k ( k 0) 1 2 2 求解 ( B A) x 0 得对应 2 的广义特征 3 3 2 p2 向量为 1 2 (l 0) 全部广义特征向量为 l 1
解 A的三个盖尔圆为：
G1 : z 20 4， G 2 : z 10 4，G3 : z 9
作图：
G3 G2
0 10
G1
20
， 但G1与G2靠太近， 无法分。 应取 1 1, 2 3 1
20 3 1 例 试分离矩阵 A 2 10 2 的特征值， 8 1 0 并在复平面上画图。
作图：
0
10
20
则 2 3，令 D diag(1,3,1)， ， 取 1 3 1 20 3 2 1 B D AD 2 9 3 1 3 i B的三个盖尔圆为 ~ ~ ~ G2 : z 9 5，G3 : z i 4 G1 : z 20 5， 作图：
G4 ~ G4
3
G2
10
作图：
~ G2
~ ~ 故在 G1， G 2， G3， G4 中各有A的一个特征值。 于是在区间 [1.5, 1.5]， [8, 12]，[2.1, 1.9]，[1.6, 4.4]
中各有A的一个特征值。
20 3 1 例 试分离矩阵 A 2 10 2 的特征值， 8 1 0 并在复平面上画图。
作图：
G1
0 1 2
G2
3
G3
1 而A的三个Ostrowski圆为（取 ) 2 O1 : z 2 2.1 2 2.049
O2 : z 3 2.8 2.2 2.48 O3 : z 3 2.3 3 2.63
作图：
G 23 O O GO 2 1 G 1 3
从而由 aii 0 知A的第 i 个盖尔圆 Gi (i 1,2,, n) 在左半平面，故A的特征值的实部小于零。
的特征值范围。 解
1 1 2 1 2 4 4 1 1 2 i 0 1 4 4 例 估计矩阵 A 1 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 i 4 2 2
0
10
20
~ ~ ~ 在 G1，G2，G3 中各有A的一个特征值。
1.1 1 2 例 试估计矩阵 A 0.8 3 2 的特征值 1.2 1.1 3 分布区域。