〇最多票数规则的优点 ●简单且相对合理：结果获得了相对“多数”的 支持
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〇最多票数规则的问题
● 可能产生对部分人有利但对其它个体极端不利
的极端主义议案和（或）候选人；产生低效率
的结果（平均效率）
● 当选人与政治机构的权威性
〇二次选举（Double election）的引进
● 规则的含义：一起表决，得到两个获得最多票
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〇库姆斯机制的运行结果
表3
投票过程
Y X Z WV
第一次计票
15 10 0 0 0
第一次淘汰与第二次计票
× 15 10 0 0
第二次淘汰与第三次计票
× 18 0 7
第三次淘汰与第四次计票
× 18 7
最终获胜者
×√
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〇 库姆斯机制的性质
●与黑尔机制的共性：排斥极端议案、孔多塞胜者 可能未能得到选择
●问题的具体性质 □非决定性（集体非理性） □日程控制（Agenda manipulation）
●问题的严重程度 □循环出现的概率
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投票循环的概率
表4 议案个数为3时无多数胜者的概率
人数
概率
人数
概率
1
0.000
15
0.082
3
0.056
17
0.083
5
0.069
19
0.083
7
0.075
一维待决策议案x，若所有投票者的偏好在x是
上是单峰的，那么，多数规则投票的结果为中 位数投票者所偏好的方案。
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● 概念定义与说明： a. 理想点（Ideal point）：若xi*是个体i的理想 点，当且仅当对所有x≠xi*，都有ui（xi*） >ui（x）;
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b.单峰偏好（Single peaked preference）：令y和z是x 维度上的两点，y,z xi*，或者y,z xi*。那么，投票者 i的偏好是单峰的，当且仅当 [ ui( y ) ui( z )] [ y xi* z xi* ]。 c.中位数投票者：令{ x1* ,x*2 , x*n }为n人委员会的n个理想 点。令nr为xi* xm的个数，nl为xi* xm的个数。当且仅 当nr n 2且nl n 2时，xm为中位数。
极值限制定理（Extremal restriction theorem）：多数 规则会给任意一个按次序排列的三元组（x, y, z）定义 一个排序，当且仅当个人所有可能的个体偏好集满足 极值限制。 极值限制：若对于任何三元组（x, y, z），有个体i的偏 好是xPi y与yPi z,那么，所有偏好z更甚于x的个体j必须有 偏好：zPj y与yPj x（Mueller，2003，pp94 97)。
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元
D5
D4 D2
a/n
D1
d（D3）
O
x1 x2 x3 x4 x5 x
图1 中位数投票模型
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民主决策的个体行动基础：具体例子
考虑一个由张三、李四和王五这3位成员组成的简单社会。 他们三人对于道路有共同的需求，但是个体对于道路宽度 （q）的需求存在差异。假设他们对于道路的需求曲线为： pz 4 q; pl 9 2q; pw 7 3q。 请问： （1）如果提供道路的边际成本为常数3，且提供道路的成本 由三人平均分摊，请问他们各自会投票支持多宽的道路？ （2）如果提供道路的总成本为：C 1 q 2，而成本仍旧采 取平均分摊的方式，个体的决策又如何呢？
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表2 简单投票多数支持率比较表
比较组 x3对x1 x3对x2 x3对x4 x3对x5
支持x3的个体 反对x3的个体 两者之比
3、4、5或2 3、4、5
1或2 1、2
4：1或3：2 3：2
1、2、3
4、5
3：2
1、2、3或4
5或4
4：1或3：2
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（一）投票均衡：一般情形
● 中位数定理（Median Voter Theorem）：对于
四、库姆斯机制
〇库姆斯机制（Coombs system）的含义 依次被集体决策过程所淘汰的是被最多的人排在 最后的议案和（或）候选人。具体来说，就是在 所有的议案中，每一投票者都指出被他排在最后 面的议案，然后删除被最多的投票人排在最后面 的议案，并按照同样的方法对剩下的个议案进行 表决，继续该过程直到只有一个议案为止，该议 案就是最终的获胜议案。
n 1 lim n n 1 e 0.368 k * 64%
n 1
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3、投票程序的修正
●逐步淘汰法 ●加权赋值法
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三、黑尔机制
〇 黑尔机制（Hare system）的含义 ●个体在选票上以第一、第二、第三的方式对所有候选对 象做出排序。在偏好排序给定的基础上，根据首要偏好 的情况来进行淘汰和选择 ●如果有候选人所获得的选票数超过一半，即有半数以上 的人将候选人置于首位，那么，他就将宣布获胜 ●但如果没有，那么具有最少数的、投票人将其排在首位 的候选对象将被淘汰出局，而他所获得的所有选票将转 移给排在第二位置的候选对象 ● 继续该过程直到有一个候选对象能获得多数支持为止
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1、个体偏好的调整
□一维：个体偏好类型 □二维：理想点的空间分布 □多元：个体偏好组合类型 □个体偏好的同质性程度
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（1）理想点的空间分布 ■ 探索性分析
(a)点分布在同一直线（如图5）； (b)增加的点对称分布在过均衡点的直线上 ■一般性条件
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y A
c. 财政竞争与财政联邦主义
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2、 对投票规则的修正
.投票规则的修正：受限多数（Qualified majority rules）。 其一，个体偏 好为n维空间 的凸偏好（Conv ex preference），最低比例k * (Greenberg,1979)： k* n
n 1 其二，对个体偏好做出更严格的限制(Caplin与 Nalebuff,1988)，最低比例k * k * 1 n n
表4 议案 Ⅰ(8)
加权票数 Ⅱ(7) Ⅲ(5) Ⅳ(3)
Ⅴ(2)
y 5*8=40 1*7=7 1*5=5 1*3=3 3*2=6
z 2*8=16 2*7=14 5*5=25 2*3=6 4*2=8
w 3*8=24 3*7=21 4*5=20 3*3=9 5*2=10
v 4*8=32 4*7=28 3*5=15 5*3=15 2*2=4
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（3） 个体偏好结构的同质性
a. 具有相同偏好的多数的存在，就足以保证多数规则均 衡的存在，而不管其他人的偏好如何（Kramer，1973； Buchanan，1954）；
b. 循环发生的概率会随具有相同偏好人数比例的增多而递 减（Williamson 与 Sargent，1976; Gehrlein与 Fishburn, 1967）。
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□不足
■平均效率：被少数人排在最前面但在整体层面上 （平均排序）较高的备选对象可能被排除。比如说 V和W。 ■孔多塞效率：由于淘汰的依据是被最少数的人排
在最前面的备选对象，孔多塞胜者可能被过早地 淘汰出局。也就是说，即便存在孔多塞胜者，孔 多塞胜者不一定能得到选择，比如说V。
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（一）投票均衡：特殊例子
●假设
□ 5个决策个体集体决定某一公共产品的规模
□税收制度：同一税制（Uniform taxation）
●个体最优选择（图1）
□个体的需求曲线与最优选择
□具体例子：
●简单多数均衡（表2）
□中位数投票者（Median voter）
□多数投票均衡（Majority voting equilibrium）
数支持的议案和（或）候选人；投票人继续就
上述两个备选对象进行选举，多数支持者获胜
● 二次选举的意义（表1）
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表1 二次选举
投票人
偏好排序
V1（8）
Y
V
W
Z
X
V2（7）
X
V
W
Z
Y
V3（5）
Z
W
V
X
Y
V4（3）
V
X
W
Z
Y
V5（2）
W
Z
Y
V
X
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二、孔多塞规则
〇投票均衡 ● 特殊例子 ● 一般情形 〇投票循环悖论（Voting cycling paradox） ●基本类型 ●主要问题 ○孔多塞规则的适用性
21
0.084
9
0.078
23
0.084
11
0.080
25
0.084
13
0.081
∞
0.088
注：前提假设是所有序有同样的机会被每一个个体采用。
资料来源：吉尔博（1952）、加曼与凯明（1968）以及尼米 和韦斯博格（1968）。
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表5 无多数胜者概率的极限制
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方案数
概率
人数
概率
1
0.000
C
B
x 图5 多元（维）议案与均衡
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个体偏好的空间分布（理想点分布） 定理：E是多数规则下的占优点，当且仅当 过E点的所有可能直线都有N R n 2 且N L n （2 Davis, DeGroot Hinich, 1972）。 证明： 充分性： 必要性：