安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题（文科）（考试时间：120分钟 满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}21012A =--，，，，，{}220B x x x =+<，则A B =A.{}12，B. {}21--，C.{}1-D.{}210--，，2. 下列命题中的假命题．．．是 A. R x ∀∈，120x ->C. R x ∃∈，lg 1x <B. *N x ∀∈，2(1)0x -> D. R x ∃∈，tan 2x =3. 等差数列{}n a 中，若36912a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和等于A. 22B. 33C. 44D. 554. 己知)0(9432>=a a ，则3log 2a =A.13 B. 13-C. 3-D. 35. 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 已知平面向量a ，b 满足2b a =，且a 与b 的夹角为60︒，则“1m =”是“()a mb a -⊥”的A. 充分不必要条件 C. 充要条件B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7. 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线Γ的离心率等于A. 1322或B.23或2 C. 12或2D. 2332或8. 过点()11M ，的直线与圆224640x y x y +--+=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. B. 4C. D. 59. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为A.12B. 0C. 1-D. 32-10. 已知A 、B 、C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆外一点. 若OC mOA nOB =+，其中m ，R n ∈. 则m n +的取值范围是A. ()01，B. ()10-，C. ()1+∞，D. ()1-∞-，11. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，公比0q >，则1n n S a +与1n n S a +的大小关系是A. 11n n n n S a S a ++>B. 11n n n n S a S a ++<C. 11n n n n S a S a ++≥D. 11n n n n S a S a ++≤12. 设()x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，且当01x <≤时，()3log f x x =. 记()f x 在[]1010-，上零点的个数为m ，方程()1f x =-在[]1010-，上的实数根和为n ，则有A. 20m =，10n =B. 10m =，20n =B. 21m =，10n = D. 11m =，21n =第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知3()f x x mx =+，R m ∈，若函数()y f x =的图象在点()1(1)f ，处的切线与x 轴平行，则m = ．14. 设0a >，若52x ⎛ ⎝展开式中的常数项为80，则a = ．15. 若变量x ，y 满足约束条件220200x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，，，则21y x +的最大值为 ．16. 在正四面体ABCD 中，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，记S 为最大的截面面积，T 为最小的截面面积，则ST= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且1a =，6A π=.（Ⅰ）当b =B 的大小； （Ⅱ）求ABC ∆面积最大值.18.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，111A B C ABC -是直三棱柱，四边形ABDC 是梯形，//AB CD ，且122AB BD CD ===，60BDC ∠=︒，E 是1C D 的中点.（Ⅰ）求证：//AE 平面1BB D ；（Ⅱ）当AE 与平面ABCD 所成角的正切值为12时，求该几何体的体积.19.（本题满分12分）某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了n 人，得到如下的统计表和频率分布直方图.（Ⅰ）写出其中的a 、b 、c 及x 和y 的值；（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人中没有第3组人的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为12，点F 是其右焦点，点A 是其左顶点， 且3AF =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点F 作不与x 轴重合的直线交椭圆E 于两点B 、C ，直线AB 、AC 分别交直线:4l x =于点M 、N . 试问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得0QM QN ⋅=？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数1()ln 2f x x x=+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()g x f x m =-. 若函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围（注：e 为自然对数的底数）.请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，曲线Ω的方程为6cos ρθ=. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数，R θ∈）. （Ⅰ）求曲线Ω的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 交曲线Ω于A 、C 两点，过点(41)-，且与直线l 垂直的直线0l 交曲线Ω于B 、D 两点. 求四边形ABCD 面积的最大值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数a ，b 满足1a b +=. （Ⅰ）求证：3314a b +≥；（Ⅱ）若至少存在一个实数x ，使得5x a x b -+-≤成立，求实数23a b +的取值范围.安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分.1.【解析】{}22020B x x x x x =+<=-<<，所以A B ={}1-. 2.【解析】1x =，()210x -=，故（B ）不正确. 3.【解析】由36912a a a ++=，得64a =，所以11111611()11442a a S a +===.4.【解析】由)0(9432>=a a，得42log 93a =，所以2131log log 3323a a =⇒=-.5.【解析】易知三个命题都正确.6.【解析】由题意可知0a ≠ ，0b ≠ ，又2b a = ，a 与b的夹角为60︒，所以 ()2()()00a mb a a mb a a ma b -⊥⇔-⋅=⇔-⋅=2212012a m a m ⇔-⋅=⇔= .7.【解析】设14PF r =，123F F r =，22PF r =.当曲线Γ是椭圆时，1226a PF PF r =+=，所以12122F F e a ==； 当曲线Γ是双曲线时，1222a PF PF r =-=，所以12322F F e a ==. 8.【解析】22224640(2)(3)9x y x y x y +--+=⇒-+-=. 因为点()11M ，在圆内，所以当直线AB 与圆心()23C ，和点M 的连线垂直时，AB 最短，min 4AB ===.9.【解析】1n =时，1cos32S π==；2n =时，12cos023S π=+=； 3n =时，3cos 13S π==-；4n =时，431cos 32S π=-+=-；5n =时，35cos 123S π=-+=-；6n =时，1cos 20S π=-+=；又cos3n π的周期为6，200763361=⨯+，所以2007n =时S 的值与1n =时S 的值相等.10.【解析】由C 、O 、D 共线，得OD OC mOA nOB λλλ==+，其中R λ∈.因为A 、B 、D 共线，所以1m n λλ+=，所以1m n λ+=.由于点D 在圆外，且OD 、OC方向相反，所以1λ<-故()110m n λ+=∈-，.11.【解析】当1q =，221111(1)n n n n S a n a S a na ++=+>=；当1q ≠，11111111(1)(1)11n n n n n n n n a aS a S a q a q q a q q q+-++-=----- 2121121111(1)(1)(1)011n n n nn a q a q q q q q a q q q--+-⎡⎤=---=-=>⎣⎦--. 12.（12）【解析】根据题设可得()f x 是周期为4的周期函数，且()00f =，()10f =，()10f -=，.()20f =，()20f -=，…，()100f =，()100f -=，所以21m =.根据函数()y f x =的性质可作出其图象(部分)，如图所示.由图象可知方程()1f x =-在[]04，上的两个实数根关于1x =对称，故其和等于2. 根据周期性，可得方程()1f x =-在[]48，上的两个实数根和等于10，在[]810，上的两个实数根和等于18，在[]108--，上无实数，在[]84--，上的两个实数根和等于14-，在[]40-，上的两个实数根和等于6-.所以2101814610n =++--=. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.【解析】2()3f x x m '=+，由(1)30fm '=+=得3m =-.14.【解析】52x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为5102(5)2155C C rr r r r r r T x a x--+==. 由51002r -=，得4r =. 所以445C 80a =（0a >），得2a =. 15.【解析】作出可行域，如图所示. 因为112122y yx x =⋅++，所以21y x +表示可行域内的点()P x y ，与点102B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，连线的斜率的一半. 由图可知，当点P 位于点()11A ，时，斜率最大，故21y x +的最大值为11213=+.16.【解析】如图，设AB a =，G 为△BCD 的中心，则BG =，AG =. 由OG AG OA =-，可得OB =. 当截面经过球心时，面积最大，所以24S π⎫=⎪⎪⎝⎭.易知OE BC ⊥，所以当截面圆的直径为BC 时，面积最小，所以2142T a π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以223212a S T a ⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）根据正弦定理sin sin a b A B =，得sin 1sin 2b A B a ===因为1b a =>=，所以B A >，故3B π=或23π. ………… 6分 （Ⅱ）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，及1a =，6A π=，得221b c +=.因为222b c bc +≥，所以(22122b c bc bc =+=≥，所以bc111sin 222ABC S bc A ∆==≤. 故ABC ∆面积最大值为24+. ………… 12分 18.【解析】（Ⅰ）如图1所示，取CD 的中点F ，连接AF 、EF . 因为E 是1C D 的中点，所以1EF CC //.又11BB CC //，所以1EF BB //，所以EF //平面1BB D . 因为12AB CD =，//AB CD ，F 为CD 的中点，所以AB FD =，且//AB FD ，所以四边形ABDF 是平行四边形，因此//AF BD ，从而//AF 平面1BB D .因为AF 、EF ⊂平面AEF ，AF EF F = ，所以平面//AEF 平面1BB D . 又AE ⊂平面AEF ，所以//AE 平面1BB D . ………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）1//EF CC ，又1CC ⊥平面ABDC ，所以EF ⊥平面ABDC ，所以EF AF ⊥. 在Rt AEF ∆中，tan 2EF EFAEF AF ∠==，所以1EF =，所以12CC =.11111--ABC A B C D CBB C V V V =+几何体，如图2所示，连接BC ，易知BC BD ⊥，又1BB BD ⊥，所以BD ⊥平面11BB C C ，所以BD 是几何体11D CBB C -的高，所以11-1223D CBB C V =⨯⨯=111-122sin 602ABC A B C V =⨯⨯⨯︒=所以V ==几何体 ………… 12分 19.【解析】（Ⅰ）由表可知第3组，第4组的人数分别为6150.4=，12200.6=，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为20人，且抽样总人数201000.0210n ==⨯. 所以第5组的人数为1002020152025----=，且 0.1202a =⨯=，0.2204b =⨯=，0.82520c =⨯=，151000.01510x ==，251000.02510y ==. ………… 4分（Ⅱ）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为2:4:61:2:3=，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. ………… 8分（Ⅲ）记第1组抽取的1人为A ，第2组抽取的2人分别为B 1，B 2，第3组抽取的3人分别为C 1，C 2，C 3.从这6人中随机抽取2人的情形有： A ，B 1 ； A ，B 2 ； A ，C 1 ； A ，C 2 ； A ，C 3 ； B 1，B 2 ； B 1，C 1 ；B 1，C 2； B 1，C3；B 2，C 1 ； B 2，C 2； B 2，C3； C 1，C 2； C 1，C 3； C 2，C 3 共15种.其中没有第3组人的情形有： A ，B 1 ； A ，B 2 ；B 1，B 2 共3种. 所以这2人中没有第3组人的概率为31155=. ………… 12分 20.【解析】（Ⅰ）依题意有 123c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得2a =，1c =，所以23b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. ………… 4分 （Ⅱ）根据题意可设直线BC 的方程为1x my =+，代入22143x y +=， 整理得22(34)690m y my ++-=.设 11(1)B my y +，，22(1)C my y +，，0(0)Q x ，， 则 122634m y y m +=-+，122934y y m =-+. 又易知(20)A -，，所以直线AB 的方程为：11(2)3y y x my =++，直线AC 的方程为：22(2)3y y x my =++，从而得11643y Mmy ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，22643y Nmy ⎛⎫⎪+⎝⎭，.所以()()()2212120021212123636(4)(4)3339y y y y QM QN x x my my m y y m y y ⋅=-+=-++++++2220022293634(4)(4)996393434m x x m m m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=--⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.所以当20(4)9x -=，即01x =或07x =时，0QM QN ⋅=.故在x 轴上是存在定点(10)Q ，或(70)，，使得0QM QN ⋅=. ………… 12分 21.【解析】（Ⅰ）221121()22x f x x x x -'=-=（0x >）. 当102x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '>.所以函数()f x 在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，上单调递增. ………… 4分（Ⅱ）“函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个零点”等价于“函数()y f x =的图象与直线y m =在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个交点”.由（Ⅰ）可知函数()f x 在区间11e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 所以当12x =时，函数()f x 有最小值11ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又112ef e ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()112f =，()1310e 2e f f -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭. 所以在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，附近，函数()y g x =的大致图象如图所示.由图可知，所以当且仅当1ln 2m =-或1122e m -+<≤时，函数()y f x =的图象与直线y m =在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个交点，从而函数()g x 在区间11e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有一个零点. ………… 12分 22.【解析】（Ⅰ）将方程6cos ρθ=的两边同乘以ρ，得26cos ρρθ=，所以226x y x +=，22(3)9x y ⇒-+=，即为所求的曲线Ω的直角坐标方程.直线4cos :1sin x t l y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数，R θ∈）.当2k πθπ=+，Z k ∈时，直线l 的普通方程是4x =；当2k πθπ≠+，Z k ∈时，消去参数t ，得直线l 的普通方程是(4)tan 1y x θ=--.………… 4分（Ⅱ）将4cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，代入226x y x +=，整理得22(cos sin )70t t θθ+--=.设两点A 、C 对应的参数分别为1t 、2t ，则12122(cos sin )7.t t t t θθ+=--⎧⎨=-⎩，所以12AC t t =-===设直线0l 的参数方程为004cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数，0θ为直线0l 的倾斜角）.同理可得BD =. 因为0l l ⊥,所以02πθθ-=，那么0sin 2sin 20θθ+=.所以BD =所以四边形ABCD面积为12S AB CD =⋅=.因为()()8sin 28sin 216θθ-++= .故16S ≤. 四边形ABCD 面积的最大值为16. ………… 10分23. 【解析】（Ⅰ）证法一、由1a b +=，可得332222()()a b a b a ab b a ab b +=+-+=-+2()313a b ab ab =+-=-.又2124a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，所以3113144ab --=≥. 从而3314a b +≥. ………… 5分 证法二、根据柯西不等式，有()()()2222211a b a b +++≥. 又1a b +=，所以2212a b +≥. 因为2124a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，所以332222()()a b a b a ab b a ab b +=+-+=-+ 111244-=≥. 证法三、因为1a b +=，所以1b a =-，所以33332(1)133a b a a a a +=+-=-+.因为221111333244a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭≥，所以3314a b +≥. （Ⅱ）因为()()x a x b x a x b a b -+----=-≥，所以“若至少存在一个实数x ，使得5x a x b -+-≤成立”，则5a b -≤.因为1a b +=，所以1b a =-，所以()15a a --≤，得32a -≤≤.所以[23305]a b a +=-∈，. 故所求的23a b +的取值范围是[05]，. ………… 10分。