并集：A B { x | x A或x B} 集合的运算： 交集 : A B { x | x A且x B}
差集 : A \ B { x | x A且x B}.
文式图：
AB
AB
AB
AB
AB
A\ B
特 别 ， 若B A,则 称 差A \ B为B关 于A的 余 （ 或 补 ） 集 ， 记 为C AB， 若 全 集 记为X， 则 称X \ A为A的 余 （ 或 补 ） 集 ，
记 为AC。 若A B , 称A与B不 相 交 ， 若A B , 称A与B相 交 。
运算律： 交换律: A B B A, A B B A 结合律: ( A B) C A (B C ),
(A B)C A(B C) 分配律: ( A B) C ( A C ) (B C ),
解 ： 及 大 于 的 一 切 数 都 是2 上 界 ，
6
6
及 小 于 的 一 切 数 都 是 下 界 。
2
2
一个数集若有上（下）界则有无穷个上（下）界， 其中最重要的是最小（大）的上（下）界，此即 为上（下）确界。
定义1.2 设A R，且A ，若 R，满足： （1）x A，有x , （2） 0，x0 A, 使x0
邻域
N ( x0 , ) { x | | x x0 | }
x0 的 邻域
N( x0 , ) { x | 0 | x x0 | }
x0 的去心 邻域
简记： N ( x0 ) N ( x0 )
有限集 集合的类型： 空集：
无限集
集合间的关系
A是B的子集：A B或B A A是B的真子集：A B或B A A与B相等 : A B A B且B A
第一章 一元函数的极限与连续
第一节 预备知识
1.1 集合及其运算
集合:具有某种确定性质的对象的全体。 组成集合的个别对象称为该集合的元素,简称元.
用大写拉丁字母 A, B,C 表示集合,小写拉丁字
母 a, b, c 表示集合的元素,用 a A 表示 a
是集合 A 中的元素,(读作“a 属于A ”),用a A
(2)有 上 界 （ 下 界 ） 数 集 的上 界 （ 下 界 ） 不 唯 一 。
例1.1 A {1 , 2 , 3 ,, n 1 ,}的上下界是多少？
234
n
解：1及大于1的一切数都是上界，
1 及小于 1 的一切数都是下界。
例1.2
2
2
A {x | x arcsint,1 t
1 }的 上 下 界 是 多 少 ？
定义1.1
设A R，且A ，若L R，使x A， 都有x L,则称A有上界，称L为A的一个上界。 若l R，使x A， 都有x l,则称A有下界，称l为A的一个下界。 若A既有上界又有下界，则称A有界。 否则称A无界。
由 定 义1.1知 ： (1)A有界 M R, M 0, 使得x A, 都有| x | M;
( aA ),表示 a不是集合 A中的元素,读作
或(“ a 不属于 A ”)
常用的数集 N 自然数集
Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 C 全体复数组成的集合
集合记号右下角加“”表示将该集合内的元 素“0 ”去掉 后所得的集合，比如
N 正整数集 R 非零实数集
区间
(a , b) { x | a x b}
则有理数在数轴上能找到对应点，称为有理点， 但数轴上的点并不能都能用有理数表示。在数轴 上的非有理点称为无理点，其对应数称为无理数。 有理数和无理数统称为实数，它与数轴上的点 一一对应，此称为完备性或连续性(几何解释）。
所以实数集R的性质为：封闭性，有序性， 稠密性和完备性。
确界与确界存在定理
实数的完备性是极限理论的基础，其本质意义是关于 极限运算封闭，而有理数无完备性，关于极限运算不 封闭。为此介绍刻画实数集完备性的确界存在定理。
(A B)C (AC)(B C) (A \ B)C (AC) \ (B C)
幂 等 律 ：A A A, A A A 吸 收 律 ：A A, A
A B B, A B A(其 中A B) A ( A B) A, A ( A B) A 对 偶 原 理: ( A B)C AC BC , ( A B)C AC BC 集 合 的 并 与 交 的 定 义 以及 对 偶 原 理 都 可 以 推 广 到 有 限 多 个 和 无 限 多 个集 合 的 情 形 。
有理数集：Q
{
p q
|
p
Z, q
N
,
p与q互质}
有理数集Q 的性质：
封闭性：对加减乘除运算（除法要求分母不为0） （简称有理运算）封闭.
有序性：即 a, b Q, a b, a b, a b必成立其一。
稠密性：任两有理数之间必存在一有理数。
实数集R
取定了原点、单位长度和方向的直线叫做坐标ห้องสมุดไป่ตู้ （如图1.1）
[a , b] { x | a x b} [a , b) { x | a x b}
(a , b] { x | a x b}
( a , ){ x |a x }
[a , ){ x |a x }
( , b) { x | x b}
(, b] {x | x b} ( , ){ x | x } R
Cartesian 乘积(积集) :
A B ( x, y) x A, y B 例R R ( x, y) x R, y R
表 示 整 个 平 面 ， 记 为R 2 可推广至有限个情形
Rn R R R
( x1, x2 ,, xn ) xi R, i 1,2,, n
1.2 实数的完备性
则称为A的上确界(或最小上界）， 记为supA
类似可定义A的下确界（或最大下界）：
定义1.2 设A R，且A ，若 R，满足： （1）x A，有x , （2） 0，x0 A, 使x0
则称为A的下确界(或最大上界）， 记为inf A
例1.3 A {1 , 2 , 3 ,, n 1 ,}的上下确界是多少？