阶段性测试题三第三章指数函数和对数函数(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简(36a9)4·(63a9)4的结果是()A．a16B．a8 C．a4D．a2解析：原式＝(a 12)4·(a 12)4＝a4.答案：C2．函数ƒ(x)＝2|x|＋ax＋1为偶函数，则()A．a＝－1 B．a＝0C．a＝1 D．a>1答案：B3．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图像大致是()解析：由题意知，a2>1，a>0，∴a>1，f(x)＝a x为增函数，且在(0，2)内图像位于x轴上方．答案：B4．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1]D ．[0，1]解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＜1.解得0≤x ＜1.答案：B5．已知a ＝60.5，b ＝0.56，c ＝log 0.56，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：∵a ＝60.5>1，0<b ＝0.56<1，c ＝log 0.56<0，∴c <b <a . 答案：A6．设0<a <1，在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a (－x )的图像是( )解析：∵0<a <1，∴1a >1，∴y ＝a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 为增函数．又y ＝log a (－x )为增函数，且定义域为(－∞，0)，故选B ．答案：B7．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2.则f [f (2)]的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：f (2)＝log 3(22－1)＝1，f [f (2)]＝f (1)＝2e 1－1＝2. 答案：C8．已知函数y ＝log a (3－ax )在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，3)C ．(0，3)D ．(3，＋∞)解析：因为a >0，所以函数f (x )＝3－ax 恒为减函数，因为y ＝log a (3－ax )为减函数，由复合函数的单调性可知y ＝log a x 为增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，解得1<a <3.答案：B9．对任意正数x ，不等式x －2a >2－x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12解析：∵x －2a >2－x ，即2a <x －2－x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴2a 应小于(x －2－x )的最小值．令y ＝x －2－x ，则y 在(0，＋∞)上为增函数，且y >－1，∴2a ≤－1，∴a ≤－12.答案：B10．设m ，n ，p 均为正数，且3m＝log 13m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ＝log 3p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13q＝log 13q ，则( )A ．m >p >qB ．p >m >qC ．m >q >pD ．p >q >m解析：∵3m>1，∴log 13m >1＝log 1313，∴0<m <13；∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13p<1，∴0<log 3p <1＝log 33，∴1<p <3；∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13q<1，∴0<log 13q <1＝log 1313，∴13<q <1，∴p >q >m . 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．函数ƒ(x )＝log a (2x －3)＋1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为________．解析：令2x －3＝1，得x ＝2，∴ƒ(2)＝log a 1＋1＝1，∴点P 的坐标为(2，1)． 答案：(2，1)12．设f (x )＝⎩⎨⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f [f (－2)]＝________．解析：f (－2)＝10－2，f [f (－2)]＝f (10－2)＝lg 10－2＝－2. 答案：－213．若－1<x <0，a ＝2－x ，b ＝2x ，c ＝0.2x ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：∵－1<x <0，∴a ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(1，2)，b ＝2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.∴a >b ，又a c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x⎝ ⎛⎭⎪⎫15x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，1，∴a <c .∴c >a >b . 答案：c >a >b14．下列说法中，正确的是________．①任取x ∈R ，均有3x >2x ；②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2；③y ＝(3)－x 是R 上的增函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图像关于y 轴对称．解析：对于①：当x ＝0时，3x ＝2x ；对于②：当0<a <1时，a 3<a 2；对于③：y ＝(3)－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x是R 上的减函数．所以正确的是④⑤.答案：④⑤三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)(1)计算：3（－4）3－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0.2512×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x ＋x －1－3的值． 解：(1)3（－4）3－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0.2512×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4＝－4－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1412×(－2)4＝－5＋12×4＝－5＋2＝－3.(2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝x ＋x －1＋2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴(x ＋x －1)2＝49，即x 2＋x －2＋2＝49，∴x 2＋x －2＝47.∴x 2＋x －2－2x ＋x －1－3＝47－27－3＝454. 16．(12分)已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最小值为3，求(log a 5)2＋log a 2·log a 50的值．解：∵f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 存在最小值为3.∴lg a >0，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg a ＝lg a ×1lg 2a ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg a ＋4lg a ＝4lg a －1lg a ＝3，即4lg 2a －3lg a －1＝0.∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0，又∵lg a >0，∴lg a ＝1，∴a ＝10. ∴(log a 5)2＋log a 2·log a 50＝(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝ (lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝1. 17．(12分)(1)已知2x ＝3，3y ＝4，求x －2y 的值；(2)已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小． 解：(1)∵2x ＝3，3y ＝4，∴x ＝log 23，y ＝log 34， ∴x －2y ＝log 23－2log 34＝log 23－2log 23log 24＝log 23－log 23＝0.(2)f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34， 当1＋log x 34>0，即0<x <1或x >43时，f (x )>g (x )； 当1＋log x 34＝0，即x ＝43时，f (x )＝g (x )； 当1＋log x 34<0，即1<x <43时，f (x )<g (x )．18．(14分)已知函数ƒ(x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )(t 为参数)． (1)写出函数ƒ(x )的定义域和值域；(2)当x ∈[0，1]时，如果ƒ(x )≤g (x )，求参数t 的取值范围． 解：(1)函数ƒ(x )＝lg(x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)，值域为R .(2)由ƒ(x )≤g (x )，得lg(x ＋1)≤2lg(2x ＋t )，得x ＋1≤(2x ＋t )2在x ∈[0，1]恒成立，得t ≥x ＋1－2x 在x ∈[0，1]恒成立．令u ＝x ＋1，得x ＝u 2－1，u ∈[1，2]，则x ＋1－2x ＝u －2(u 2－1)＝－2u 2＋u ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫u －142＋178，当u ∈[1，2]时得最大值为1，所以t 的取值范围是[1，＋∞)．。