不定积分解题方法及技巧总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII⎰不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。

然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。

本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。

本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。

（这就不多说了~）2.第一类换元法。

（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。

则C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。

当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

如例1、例2： 例1：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。

常见的变换形式需要熟记会用。

主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。

，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。

Cx x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)cos cos (2sin 2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，c x dt t dttt dt t t tdt t tt tx x xdx +-=--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--⎰⎰⎰⎰⎰661212512621212arcsin 611161111111111（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。

Cx x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==⎰⎰⎰sin 2cos 2sin 2cos 2)cos cos (2sin 2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，c x dt t dttt dt t t tdt t tt tx x xdx +-=--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--⎰⎰⎰⎰⎰661212512621212arcsin 6111611111111114.分部积分法.公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。

具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx xx x ⎰-⋅231arccos【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则=-=-=-⎰⎰⎰tdt t dt t t tt dx x x x 3323cos )sin (sin cos 1arccosC x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(313291cos 91cos 32sin sin 31cos )1sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332例4：⎰xdx 2arcsin 【解】⎰⎰--=dxx x x x x xdx 22211arcsin 2sin arcsinCx x x x x dx xx x x x x x xd x x +--+=----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(xx e x P x x x ax ax e x P axm ax m ======将以上规律化成一个图就是：但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。

对于（3）情况，有两个通用公式：Cbx b bx a b a e dx bx e I C bx b bx a ba e dx bx e I ax axaxax+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 222221 （分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx 的不定积分》中，常可以看到分部积分）5 不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

被积函数⎰+dx xx 22cos sin 1上下同乘x sin 变形为()()()⎰⎰+--=+x x x xd dx x x cos 1cos 1cos cos cos sin 12 令x u cos =，则为()()()()()()cx x c x xx duu u u u u udu +-=+-+-+-=--+-+=+--⎰⎰2sec 412tan ln 21cos 1cos 1ln 41cos 121)141141121(1122222.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cos sin 22=+x x 的使用。

()()c x x x x dxx x dx xx x x dx x x x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+-+=+⎰⎰⎰82tan ln 221cos sin 21)4/sin(2cos sin 21cos sin 1cos sin 21cos sin cos sin 2ππ 三角函数之间都存在着转换关系。

被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

3. 函数的降次①形如的cos sin ⎰xdx x n m 积分（m ，n 为非负整数） 当m 为奇数时，可令x u cos =，于是 ()⎰⎰⎰----=-=du u ux xd x dx x x n m nm n m 21211cos cos sin cos sin ，转化为多项式的积分当n 为奇数时，可令x u sin =，于是 ()⎰⎰⎰---==du u u x xd x xdx x u mn mnm21211sin cossincos sin ，同样转化为多项式的积分。

当m ，n 均为偶数时，可反复利用下列三角公式：,22cos 1cos ,22cos 1sin ,2sin 21cos sin 22xx xx x x x +=-==不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如⎰xdx n tan 和⎰xdx n cot 的积分（n 为正整数） 令xdx u tan =，则u x arctan =，21ududx +=，从而 ⎰⎰+=,1tan 2du uu xdx nn已转化成有理函数的积分。

类似地，⎰xdx n cot 可通过代换x u cot =转为成有理函数的积分。

③形如⎰xdx n sec 和⎰xdx m csc 的积分（n 为正整数）当n 为偶数时，若令x u tan =，则21,arctan u dudx u x +==，于是 ()()()⎰⎰⎰⎰-+=++=+=du u du u u dxx xdx nnnn122222221111tan 1sec已转化成多项式的积分。

类似地，⎰xdx n csc 可通过代换x u cot =转化成有理函数的积分。

当n 为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

()cx x x x xdx x x x x xd x xdx x x dx x x xdx x +--=+-=-=-=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 41412sin 41412cos 214122cos 1sin 222225.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分 有理函数)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)()(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。

（对各部分分式的处理可能会比较复杂。

出现⎰+=nn x a dxI )(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2----++-=n n n I n a n a x n a x I ）1.有理真分式化为部分分式之和求解 ①简单的有理真分式的拆分()c x x dxx x x dx xx ++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰44341ln 41ln 1111②注意分子和分母在形式上的联系()()()()()()cx x c t t dt t t t t dt x t x x dx x x x dx++-=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰33ln ln 33ln 3ln 311313337777767此类题目一般还有另外一种题型：()cx x dx x x x dx x x x +++=+++=+++⎰⎰52ln 215222215212222.注意分母（分子）有理化的使用()()C x x x x x x dx++-+=--+=-++⎰⎰23233212132121412321232例5：dx x x x x x ⎰+--+223246)1(24【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22322)1(241++-+x x x x x2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211x dx x x x xdx x x x dx x x x Cx dx x x =++=++=++++=+⎰⎰⎰⎰μ Cx x C d d d ++-=+-+=+-=+-+=++⎰⎰⎰)1(1111))1(11()1()1()1(122222222222μμμμμμμμμμμμμμ故不定积分求得。