障的次数 N (t)服从参数为t的泊松分布
(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； (2)求设备无故障工作8小时的概率； (3)求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故 障工作8小时的概率。 解：(1)求概率分布，由题目所给的条件，求T的分布 函数。 当t 0时，由于T是非负的随机变量， 故有F (t) P(T t) 0 当t 0时，事件“T t”表示相邻两次故障的时间间隔
(2)求每天购物人数Y的概率分布； (3) 已知某天有k人购物，求该天恰有m(m k)人
进店的概率 解：（1）P(Y m) Cnm pm (1 p)nm，即Y ～ B(n, p)
（2）每天购物人数Y的可能值为0,1,2, , X ( X 为进 店人数)，由题意X ～ P( ), Y ～B(n, p)
2. 公式法
X ~ f X ( x), y g( x) 单调，且有反函数 x h( y),
Y g( X ) 的p.d.f.
fY
(
y)
fX 0
[h(
y)]
h(
y)
a yb else
此公式可推广至g(x)逐段单调的情形。
例1：连续射击直到恰好命中两次目标为止，假设各次 射击命中目标的概率都等于p，试求射击次数X的概率分布。
于是T的分布函数为F
(t
)
1
e t
0
t0 t0
可见，T服从参数为的指数分布。
(2)所求概率P P(T 8) 1 F (8) e8
(3)所求概率Q P(T 16T 8) P[(T 16) (T 8)] P(T 8)
P(T 16) 1 F (16) e8 P(T 8) 1 F (8)
例2：向半径为r的圆内均匀投掷一随机点，假设点不可能 落到圆外，且落入圆内任何区域内的概率只与其面积有关并 与之成正比。试求
（1）随机点的落点到原点的距离R的分布函数F(x); （2）r.v. R的概率密度f(x).
例3：设r.v.X的绝对值不大于1， P( X 1) 1 , 8
P( X 1) 1 , 在 1 X 1 的条件下，X在任意区间
二、d.r.v.的概率分布
X
x1
x2
P
p1
p2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xn pn
必须掌握的分布： 两点分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，几何分布
1. 牢记分布列及其实际模型
2. 近似计算：
超几何分布
二项分布
泊松分布
三、c.r.v.的概率分布
b
X ~ f ( x), P(a X b) a f ( x)dx,
m!
C
k m
pk (1
p)nk
m e
m!
pk (1 p)mk
mk m! k!(m k)!
(p)k e
mk (1 p)mk
k!
mko (m k)!
(p)k ee(1 p) (p)k ep k 0,1,
k!
k!
可见，每天购物人数Y服从参数p的Poisson分布。
（3）所求概率为条件概率
P( X mY k) P( X m)P(Y k X m) P(Y k)
m e
m!
pk (1 p)mk
m!
k!(m k)!
(p)k ep
k!
e(1 p)[(1 p)]mk (m k)
(m k)!
例8：假设某设备开机后无故障工作的时间X服从参 数等于1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动 关机，而在无故障的情形下工作2小时便关机。试求该设 备每次开机无故障工作时间Y的分布函数。
x
因此有 F ( x) f (t )dt, F( x) f ( x)
必须掌握的分布： 均匀分布，指数分布，正态分布，伽马分布
牢记分布的d.f. 及p.d.f. 四、r.v. 函数的分布（重点是c.r.v.)
1. 分布函数法： Y g( X ), FY ( y) P(Y y) P( g( x) y) 利用X的分布求此概率
不大于t，即在t长的时间内至少发生一次故障，即N (t) 1,
反之，若N (t) 1，说明在t长的时间内发生了故障，即相邻
两次故障的时间间隔T t，因此有
F (t) P(T t) P[N (t) 1]
因为 P[N (t) k] (t)k et , k 0,1,2,
k! 所以当 t 0时，有 F (t) 1 P[N (t) 1] 1 et
则，P(Y k) P( X k Y k) P( X m Y k)
mk
P( X m)P(Y k X m)
mk
而当 X m时，Y ～B(m, p)
因此 P(Y k X m) Cmk pk (1 p)mk
又知 P( X m) m e
m!
于是
P (Y
k)
mk
m e
习 题 课2
● 主要内容
一、r.v.及其概率分布 1. r.v. —— 样本点的函数 X X ( ), 2. 概率分布 —— r.v.的值域及其各个可能值或在其值域 内各部分取值的概率此二者的总称。
3. 分布函数：F ( x) P( X x), x (, ) P(a X b) F(b) F(a) P( X a) F(a) F(a 0) P(a X b) F(b) F(a 0)
4 (a, b) [1,1] 取值的概率与b – a成正比，求X的分布函数。
例4：假设有8件独立工作的家用电器设备，启动时间是
随机的。每件每小时平均使用10分钟，而电力只能保证5件 同时使用，求用电超负荷的概率并求平均多少分钟出现一 次超负荷情况？
例5：假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故
例6：设事件A,B独立，事件C满足 AB C, A B C, 证明：P( A)P(C ) P( AC )
例 7：设每天进入某商店的人数X为服从参数( 0)
的Poisson分布的随机变量，已知在进店的顾客中，每人 购物的概率为p(0 p 1)且各个顾客购物与否相互独立。
(1)若某天有n人进店，求恰有m(0 m n)人购物的概率；
计算结果表明：P(T 16T 8) P(T 8)，即在已 无故障工作8小时的条件下，再无故障工作8小时的条件概 率，等于无故障工作8小时的无条件概率，这种性质叫做 “无后效性”，也就是说，设备以前曾经无故障使用的时间， 不影响它以后使用寿命的统计规律。在连续型分布中只 有指数分布具有这种性质，这就决定了指数分布在排队论 及可靠性理论中的重要地位。