应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设0）x （g lim ）x （f lim 0x x x x ==→→*1）若0）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小*2）若∞=→）x （g ）x （f limx x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小*3）若c ）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小*4）若1）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小*5）若0）x （g ）x （f limkx x 0=→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换：若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ）则=→）x （g ）x （f limx x ）x （g ）x （f lim 11x x 0→6、常用等价形式： 当f （x ）→0时*1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ）*4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ）*7）1-cosf （x ）~ 2）x （f 2*8）（1+f （x ））α-1~ αf （x ） 二、函数的连续： 1、间断点：*1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0）*2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数：1、定义：）x （f '= x△）x （f -）x △x （f lim 000x △+→2、导数的常见形式： *1） 00x x 0x -x ）x （f -）x （f lim）x （f 0→='*2） h）x （f -）h x （f lim）x （f 000h +='→*3） h）h x （f -）x （f lim）x （f 000h -='→3、切线方程：若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 0'（x-x 0） 注：*1）如果）x （f 0'=∞，则 x=x 0 *2）如果）x （f 0'=0，则 y=y 0 4、法线方程：若直线过点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 10'-（x-x 0） 5、基本公式：*1）='）C （ 0 *2）1-a a ax ）x （=' *3）Ina a ）a （x x =' *4）x x e ）e （=' *5）xIna 1 ）x log （a ='*6）x 1 ）Inx （='*7）cosx ）sinx （='*8）sinx - ）cosx （=' *9）x sec ）tanx （2=' *10）x csc - ）cotx （2=' *11）tanx secx ）secx (⋅=' *12）cotx cscx - ）cscx （⋅=' *13）2x -11 ）sinx arc （=' *14）2x -11-）cosx arc （='*15）2x 11）tanx arc （+=' *16）2x11- ）cotx arc （+=' 6、四则运算：νμ和都有导数*1）νμνμ'±'='± ）( *2）μμ'='c ）c （ *3）νμνμνμ'+'='⋅ ）( *4）)0( )(2≠'-'='νννμνμνμ 推论：*1）μμ'='c ）c （ *2）w w w w '+'+'='μννμνμμν ）（ *3）s w s w ws ws ws '+'+'+'='μνμννμνμμν ）（ 7、反函数求导法则：设y=f （x ）与x=ϕ（y ）（ϕ'（y ）≠0）则）y （1）x （f ϕ'=' 或x y '= yx 1'8、n 次导的常见公式：*1））n （）sinx （= ）2nx （sin π+*2））2nx （cos ）cosx （）n （π+=*3）()()n [In 1x ]+= n1-n ）x 1（!）1-n （）1-（+ 9、参数方程求导：设函数）t （y ），t （x ），且b t a （）t （y ）t （x ψϕψϕ==≤≤⎩⎨⎧==都可导，其中x=）t （ϕ'≠0，则函数的导数）t （）t （dtdx dt dydx dy ϕψ''== 10、复合函数求导：若y=f （u ），u=ϕ（x ），且f （u ）及ϕ（x ）都可导，则复合函数y=f[ϕ（x ）]的导数）x （）x （f dxdyϕ'⋅'=11、隐函数求导：*1）方程F （x ，y ）=0两边求导，解出y 或dx dy'*2）公式法：由F （x ，y ）=0，则yxF F dx dy''-=*3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出dxdy注：y 是x 的函数 12、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y （x ）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u （x ）v （x ）） 13、高阶导数：*1）二阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △'+'=''→ *2）三阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △''+''='''→*4）n 阶导数：x△）x （f -）x △x （f lim）x （f）1-n （）1-n （0x △）1-n （+=→ 14、中值定理：*1）拉格朗日定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得a-b ）a （f -）b （f）（f ='ξ推论1：如果函数f （x ）在区间（a ，b ）内任意一点的导数）x （f '都等于零，你们函数f （x ）在（a ，b ）内是一个常数推论2：如果函数f （x ）与g （x ）在区间（a ，b ）内每一点的导数）x （f '与）x （g '都相等，则这两个函数在区间（a ，b ）内至多相差一个常数，即：f （x ）= g （x ）+C ，x ∈（a ，b ）*2）罗尔定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且f （a ）=f （b ），则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得='）（f ξ 0 *3）柯西定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且0）x （g ≠'，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得）a （g -）b （g ）a （f -）b （f = ）（g ）（fξξ''&15、洛必达法则：*1）0型：设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴==→→）x （g lim ）x （f lim 0x x x x 0⑵在点x 0的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0⑶）x （g ）x （f limx x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*2）∞∞型： 设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴∞==→→ ）x （g lim ）x （f lim 0x x x x⑵在点x 0=的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0⑶）x （g ）x （f lim 0x x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*3）其他未定型：⑴0·∞型：f （x ）·g（x ）转化成）x （f 1）x （g 或 ）x （g 1）x （f ，一般将In 、arc 留在分子上⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为0型或∞∞型 ⑶0、0、1∞∞∞型：f （x ）g （x ）= eg （x ）Inf （x ）= ）x （g 1）x （Inf e16、函数单调性判定：设函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内可导*1）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f >'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 增 ；*2）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f <'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 减 ； 17、函数的极值：*1）如果函数y=f （x ）在点x 0及其左右近旁有定义，且对于x 0近旁的任何一点x （x ≠x 0）的函数值f （x ）均有：⑴f （x ）<f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极大值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极大值点⑵f （x ）>f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极小值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极小值点 *2）驻点：='）x （f 0 0 的点 *3）极值第一充分条件：设点x 0是f （x ）可能的极值点（0）x （f 0='或）x （f 0'不存在）⑴当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00>'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00<'+∈δ,则x 0为极大值点⑵当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00<'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00>'+∈δ,则x 0为极小值点⑶当⋃∈）x ，-x （x 00δ）x ，x （00δ+，）x （f ' 同号 ，则x 0不是极值点 *4）极值的第二充分条件：设y=f （x ）在点x 0处有一、二阶导数，且）x （f 0'= 0⑴如果）x （f 0'' > 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最小值f （x 0） ⑵如果）x （f 0'' < 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最大值f （x 0） 18、曲线凹凸性：*1）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f >''，则曲线在（a ，b ）上为 凹 ，用符号“ ⋂ ” 表示*2）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f <''，则曲线在（a ，b ）上为 凸 ，用符号“ ⋃ ” 表示 6、曲线拐点：设f （x ）在x 0的某个邻域内二阶可导，且=''）x （f 0 0 ，若x 0两侧）x （f 0'' 改变 符号，则 （x 0，f （x 0）） 为曲线的拐点19、曲线的渐近线：*1）水平渐近线：如果函数y=f （x ）的定义域是无穷区间，且b ）x （f lim x =∞→，则y= b*2）垂直渐近线：如果函数y=f （x ）在x=x 0处间断，且∞=→）x （f lim 0x x ，则x=x 0*3）斜渐近线：如果函数y=f （x ）定义在无穷区间，且a x）x （f limx =∞→，b ax]-）x （[f lim x =∞→，则y= ax+b20、经济学与导数：*1）利润：L （Q ）= R （Q ）-C(Q) *2）边际利润：）Q （C -）Q （R Q)（L ''='*3）函数弹性：）x （f ）x （f xEx Ey '=*4）需求弹性（供给函数）：）p （Q ）Q(p p ）p （0000'=η 注：⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。